ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8.6. Решение систем линейных уравнений (задачи 6, 7 и 8) 115
неизвестных. По теореме 2 из подраздела 4.5 система имеет нетри-
виальное решение. Впрочем, это можно было заметить сразу: по-
скольку уравнений в системе четыре, то ранг ее матрицы не может
быть больше четырех, а поэтому он меньше пяти — числа неизвест-
ных. Обведенный минор можно принять в качестве базисного. При
таком выборе базисного минора неизвестные x
1
и x
2
— зависимые, а
x
3
, x
4
, x
5
— свободные. Данная система эквивалентна системе
x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 0,
x
2
− x
4
− x
5
= 0,
или
x
1
− x
2
= −x
3
− x
4
− 2x
5
,
x
2
= x
4
+ x
5
.
Выражая зависимые переменные через свободные, находим об-
щее решение:
x
1
= −x
3
− x
5
,
x
2
= x
4
+ x
5
.
Фундаментальная с истема решени й содержит 5 − 2 = 3 реше-
ния (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем три
частных линейно независимых р ешени я, придавая поочередно сво-
бодным неизвестным значения (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1):
(−1, 0, 1, 0, 0),
(0, 1, 0, 1, 0),
(−1, 1, 0, 0, 1).
Эти решения образуют фундаментальную систему решений. Лю-
бое другое решение является их линейной комбинацией.
Задачи для самостоятельного решения
8.6.4. Дана система
2x
1
+ x
2
− x
3
+ 2x
4
= −4,
2x
1
+ 3x
2
− 3x
3
+ 4x
4
= −14,
8x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= −1,
8x
1
+ 5x
2
+ x
3
+ 5x
4
= −7.
Докажите, что она имеет единственное решение. Неизвестное x
2
найдите по формуле Крамера. Решите систему методом Гаусса.
Ответ. (0, −3, 3, 1).
8.6.5. Дана система система линейных уравнений
x
1
+ x
2
+ x
3
− 2x
4
= 1,
2x
1
+ 2x
2
− 5x
3
+ 3x
4
= 2,
3x
1
+ 4x
2
− 2x
3
− 3x
4
= 2,
2x
1
+ 3x
2
− 3x
3
− x
4
= 1.
Докажите, что эта система совместна; найди те общее решение и
частное решение при x
4
= 1.
Ответ. (1, 1, 1, 1); x
1
= 2 − x
4
, x
2
= −1 + 2x − 4, x
3
= x
4
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
