Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116 8. Методические указания (контрольная работа №1)
8.6.6. Дана система система линейных уравнений
2x
2
− x
3
− x
4
= 0,
x
1
− 5x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 0,
3x
1
− 7x
2
+ 2x
3
− x
4
= 0,
2x
1
− 4x
2
+ x
3
− x
4
= 0.
Докажите, что эта система имеет нетривиальное решение. Запи-
шите её общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему
решений.
Ответ. (1, 1, 2, 0), (3, 1, 0, 2).
8.7. Алгебра геометрических векторов
(задачи 9 и 10)
Необходимо изучить подразделы 5.1 — 5.6.
8.7.1. Найдите (a, b), если a = 2p + 3r, b = 3p − r, |p| = 4, r = 2,
(pb,r) = (2/3)π.
Решение. (a, b) = (2p + 3r, 3p − r) = 6(p, p) + 9(r, p) − 2(p, r) −
−3(r, r) = 6|p|
2
+ 7|p||r|·cos 120
◦
−3|r|
2
= 6 ·16 −7 ·4 ·2 ·
1
2
−3 ·4 =
= 96 − 28 − 12 = 56.
(Мы учли, что (r, p) = (p, r), (p, p) = |p|
2
, (r, r) = |r|
2
.)
Ответ. 56.
8.7.2. Вычислите |[a, b]|, если a = 2p + 3r, b = 3p − r, |p| = 4,
|r| = 2
√
2, (pb,r) = 135
◦
.
Решение.
|[a, b]| = |[2p + 3r, 3p − r]| = |6[p, p] + 9[r, p] − 2[p, r] − 3[r, r]| =
= |0 + 9[r, p] + 2[r, p] + 0| = 11 |[r, p]| = 11|r||p|sin 135
◦
=
= 11 · 4 · 2
√
2 ·
√
2
2
= 88.
(Использовали свойства [p, p] = [r, r] = 0, [p, r] = −[r, p].)
Ответ. 88.
8.7.3. Найдите |a|, если a = 4p + r, |p| =
√
2, |r| = 4, (pb,r) = 45
◦
.
Решение.
|a|
2
= (a, a) = (4p + r, 4p + r) = 16|p|
2
+ 8(r, p) + |r|
2
=
= 32 + 8 ·
√
2 · 4 ·
√
2
2
+ 16 = 32 + 32 + 16 = 80.
|a| =
√
80 = 4
√
5.
Ответ. 4
√
5.

Страницы