Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8.7. Алгебра геометрических векторов (задачи 9 и 10) 117
8.7.4. При каком значении α векторы p = c + αd и r = 2c + 3d
перпендикулярны, если |c| = |d| = 4, (cb,d) = 120
◦
?
Решение. Если векторы p и r перпендикулярны, то (p, r) = 0.
Следовательно, (2c + 3d, c + αd) = 0,2|c|
2
+ (3 + 2α)(c, d) + 3α|d|
2
=
= 2·16−(3+2α)·4·4·
1
2
+4·4·3α = 32−8(3+2α)·16+48α = 8+32α = 0;
α = −1/4.
Ответ. −1/4.
8.7.5. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(1, −2, 1),
B(0, −3, 2), C(2, 0, 1). Найдите площадь треугольника ABC и длину
его высоты AH.
Решение. Известно, что величина |[a, b]| равна площади парал-
лелограмма, построенного на векторах a и b. Поэтому площадь
треугольника ABC равна
1
2
|[AB, AC]|. Так как AB = (−1, −1, 1),
AC = (1, 2, 0), то [AB, AC] =
i j k
−1 −1 1
1 2 0
= −2i + j − k,
|[AB, AC]| =
√
2
2
+ 1
2
+ 1
2
=
√
6, S =
√
6
2
. Поскольку S =
1
2
|AH| ×
×|BC| =
1
2
h ·|BC|, то h =
2S
|BC|
; BC = (2, 3, −1), |BC| =
=
√
4 + 9 + 1 =
√
14, h =
√
6
√
14
=
r
3
7
.
8.7.6. Треугольная пирамида ABCD задана координатами сво-
их вершин: A(−5, 1, 1), B(1, −2, −2), C(1, −1, −3), D(−1, −4, −1). Вы-
числите объём V этой пирамиды, длину её высоты CH, косинус угла
α между рёбрами AB и AD, Пр
AB
AD.
Решение. Известно, что объём параллелепипеда, построенного
на векторах a, b, c, равен |(a, b, c)|, объём пирамиды, рёбрами
которой являются векторы a, b, c, равен
1
6
|(a, b, c)|. В нашей зада-
че V =
1
6
|(CB, CA, CD)|. Так как CB = (0, −1, 1), CA = (−6, 2, 4),
CD = (−2, −3, 2), то
(CB, CA, CD) =
0 −1 1
−6 2 4
−2 −3 2
=
0 −1 1
0 11 −2
−2 −3 2
=
= −2 ·(2 − 11) = 18 и V =
18
6
= 3.
Объём пирамиды, как это известно из школьного курса,

Страницы