Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

118 8. Методические указания (контрольная работа №1)
V =
1
3
Sh, тогда h =
3V
S
. Так как требуется найти высоту CH, то
величиной S является площадь грани ADB, которую находим по-
добно тому, как в задаче 8.7.5: S =
1
2
|[AB, AD]|, AB = (6, −3, −3),
AD = (4, −5, −2),
[AB, AD] =
i j k
6 −3 −3
4 −5 −2
= −9i + 0 · j − 18k = −9 · (i + 2k);
S =
1
2
· 9
√
1 + 4 =
9
2
√
5; CH = h =
3 · 3 · 2
9 ·
√
5
=
2
√
5
=
2
√
5
5
= 0,4
√
5.
Косинус угла между векторами AB и AD находим по формуле
cos ϕ =
(AB, AD)
|AB||AD|
=
6 · 4 + (−3) · (−5) + (−3) · (−2)
√
36 + 9 + 9 ·
√
16 + 25 + 4
=
=
24 + 15 + 6
√
54 · 45
=
45
9
√
6 · 5
=
5
√
30
=
√
30
6
.
(см. подраздел 5.4).
Проекцию вектора AD на направление, определяемое вектором
AB, находим по формуле
Пр
AB
AD =
(AB, AD)
|AB|
=
24 + 15 + 6
√
36 + 9 + 9
=
45
√
54
=
15
√
6
=
5
√
6
2
.
Задачи для самостоятельного решения
8.7.7. В треугольнике ABC даны AB = 2p + 5q, AC = 8p − 7q,
где p и q — произвольные неколлинеарные векторы. Выразите через
p и q вектор BC.
Ответ. 6p −12q.
8.7.8. В треугольнике ABC сторона BC точками M
1
, M
2
, M
3
раз-
делена на четыре равные части, так что BM
1
= M
1
M
2
= M
2
M
3
=
= M
3
C. Дано, что AM
1
= a, AM
2
= b. Выразите через a и b векто-
ры AB, BC, AC.
Ответ. AB = 2a − b, BC = 4(b − a), AC = 3b − 2a.
8.7.9. Найдите числа α и β, если известно: AB = αp + 4q, BC =
= 2p − βq, AC = βp + αq, где p, q — неколлинеарные векторы.
Ответ. 1; 3.
8.7.10. Вектор a = (2, −4, 3) отложен от точки A(3, −5, 2). Най-
дите координаты точки B — его конца.
Ответ. B(5, −9, 5).

Страницы