Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120 8. Методические указания (контрольная работа №1)
Решение.
1. Чтобы доказать, что оператор A линейный, надо проверить,
что выполняется условие A(αx + βy) = αAx + βAy. В нашем случае,
используя свойства векторного произведения, находим
A(αx + βy) = [c, αx + βy] = α[c, x] + β[c, y] = αAx + βAy,
т.е. оператор A линейный.
2. Поскольку Ac = [c, c] = 0, то Ac = (0, 0, 0).
3. Находим вектор Bc. В этом случае x
1
= −1, x
2
= 3, x
3
= 2.
Поэтому Bc = (−4, −3, −1).
4. Матрицу оператора BA можно найти двумя способами: а) най-
ти матрицы операторов B и A, а затем найти их произведение;
б) найти координаты векторов BAi, BAj, BAk и записать их в столб-
цы. Найти матрицы операторов A и B.
Имеем:
Ai =
i j k
−1 3 2
1 0 0
= 2j − 3k, Aj =
i j k
−1 3 2
0 1 0
= −2i − k,
Ak =
i j k
−1 3 2
0 0 1
= 3i + j, A =
"
0 −2 3
2 0 1
−3 −1 0
#
.
Bi = (0, 0, 1); Bj = (0, −1, 0); Bk = (−2, 0, 0); B =
"
0 0 −2
0 −1 0
1 0 0
#
.
BA =
"
0 0 −2
0 −1 0
1 0 0
#"
0 −2 3
2 0 1
−3 −1 0
#
=
"
6 2 0
−2 0 −1
0 −2 3
#
.
Мы нашли матрицу оператора BA способом a. Найдём эту мат-
рицу способом б. (BA)i = B(Ai) = B(2j − 3k) = (6, −2, 0); B(Aj) =
= B(−2i − k) = (2, 0, −2); B(Ak) = B(3i + j) = (0, −1, 3). Мы полу-
чили BA =
"
6 2 0
−2 0 −1
0 −2 3
#
.
8.8.2. Линейный оператор A действует в R
3
→ R
3
по закону Aa =
= (5x
1
+2x
2
−3x
3
, 4x
1
+5x
2
−4x
3
, 6x
1
+4x
2
−4x
3
), где x = (x
1
, x
2
, x
3
) —
произвольный вектор из R
3
.
1. Найдите матрицу оператора A в каноническом базисе.
2. Докажите, что вектор x = (1, 2, 2) является собственным для
оператора A, и найдите собственное число λ
0
, ему отвечающее. Най-
дите все другие собственные векторы оператора A и сделайте про-
верку.

Страницы