Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122 8. Методические указания (контрольная работа №1)
x
1
= x
2
,
x
3
= 2x
2
является общим решением системы. Положив, напри-
мер, x
2
= 1, найдём собственный вектор x = (1, 1, 2).
Проверка:
"
5 2 −3
4 5 −4
6 4 −4
#"
1
1
2
#
=
"
5 + 2 − 6
4 + 5 − 8
6 + 4 − 8
#
=
"
1
1
2
#
= 1 ·
"
1
1
2
#
,
т.е. вектор (1,1,2) является собственным и отвечает собственному
числу λ = 1.
Совершенно аналогично находим, что собственному числу λ = 2
отвечает собственный вектор (1,0,1).
Задачи для самостоятельного решения
8.8.3. Дана матрица A =
"
16 0 0
6 2 2
−3 1 3
#
. Докажите, что вектор
x = (0, 2, −1) является собственным этой матрицы и найдите отве-
чающее ему собственное число A. Найдите все собственные числа и
собственные векторы этой матрицы и сделайте проверку.
Ответ. Собственные числа 1; 4; 16.
8.8.4. Квадратичные формы
а) B(x, x) = 2x
2
− 2xy + y
2
− 2yz + 2z
2
,
б) B(x, x) = 5x
2
− 4xy + 6y
2
− 4yz + 7z
2
приведите к главным осям и найдите соответствующее преобразова-
ние системы координат.
Ответ. а) 2y
2
1
+ 3z
2
1
;
"
x
1
y
1
z
1
#
=
1/
√
5 2/
√
5 1/
√
5
1/
√
2 0 1/
√
2
1/
√
3 −1/
√
3 1/
√
3
"
x
y
z
#
;
б) λ
3
− 18λ
2
− 99λ + 162 = 0; 3x
2
1
+ 6y
2
1
+ 9z
2
1
;
"
x
1
y
1
z
1
#
=
"
2/3 2/3 1/3
2/3 −1/3 −2/3
1/3 −2/3 2/3
#"
x
y
z
#
.

Страницы