ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8.8. Линейные операторы (задача 11) 121
Решение.
1. Так как A(1, 0, 0) = (5, 4, 6), A(0, 1, 0) = (2, 5, 4), A(0, 0, 1) =
= (−3, −4, −4), то, записав в столбцы координаты полученных век-
торов, найдём матрицу A: A =
"
5 2 −3
4 5 −4
6 4 −4
#
.
2. Проверим, что вектор x = (1, 2, 2) является собственным мат-
рицы A. Находим
Ax =
"
5 2 −3
4 5 −4
6 4 −4
#"
1
2
2
#
=
"
5 + 4 − 6
4 + 10 − 8
6 + 8 − 8
#
=
"
3
6
6
#
= 3
"
1
2
2
#
.
Так как Ax = 3x, то отсюда следует, что вектор x(1, 2, 2) соб-
ственный и отвечает собственному числу λ
0
= 3.
3. Чтобы найти все другие собственные числа, составляем харак-
теристическое уравнение
|A − λE| =
5 − λ 2 −3
4 5 − λ −4
6 4 −4 − λ
=
= (5 − λ)
5 − λ −4
4 −4 − λ
− 2
4 −4
6 −4 − λ
− 3
4 5 − λ
6 4
=
= (5 − λ)(λ
2
− λ − 4) − 2(−4λ + 8) − 3(6λ − 14) =
= −λ
3
+ λ
2
+ 4λ + 5λ
2
− 5λ − 20 + 8λ − 16 − 18λ + 42=
= −λ
3
+ 6λ
2
− 11λ + 6 = 0.
Нам уже известно, что число λ
0
= 3 — корень этого уравне-
ния. Разделив многочлен λ
3
− 6λ
2
+ 11λ − 6 на (λ − 3), получим
λ
2
− 3λ + 2. Другие собственные числа найдём, решая уравнение
λ
2
− 3λ + 2 = 0. λ
1,2
=
3 ±
√
9 − 8
2
=
3 ± 1
2
, λ
1
= 1, λ
2
= 2. Итак, соб-
ственными числами являются 1, 2, 3.
Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным
числам.
λ = 1. Собственные векторы, отвечающие этому собственно-
му числу, образуют фундаментальную систему решений системы
линейных однородных уравнений
(
4x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 0,
4x
1
+ 4x
2
− 4x
3
= 0,
6x
1
+ 4x
2
− 5x
3
= 0.
Опреде-
литель системы совпадает с определителем |A − E| = 0.
Ранг матрицы этой системы, очевидно, равен двум. Поэтому фун-
даментальная система решений состоит из одного решения. Вычи-
тая первое уравнение из второго, получаем x
1
= x
2
. Таким образом,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
