Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Методические указания
(контрольная работа №2)
Эта контрольная работа содержит пять типов задач: 1) пря-
мая линия на плоскости; 2) плоскость; 3) прямая в пространстве;
4) окружность, сфера; 5) эллипс, гипербола, парабола. Для решения
задач первых трёх типов широко применяется векторная алгебра.
Следует повторить теоретический материал по скалярному, вектор-
ному и смешанному произведению (пп. 5.4, 5.5, 5.6).
9.1. Прямая линия на плоскости (задачи 1 и 2)
Необходимо изучить подраздел 7.1. Напомним, что в общем урав-
нении прямой Ax + By + C = 0 коэффициенты A и B определяют
вектор N = (A, B), перпендикулярный данной прямой, называемый
вектором нормали. Чтобы записать общее уравнение прямой, доста-
точно найти её вектор нормали N = (A, B) и координаты (x
0
, y
0
)
какой-либо точки M
0
, лежащей на этой прямой. Рекомендуется ис-
пользовать следующие правила.
1. Если прямая, заданная общим уравнением Ax + By + C = 0,
проходит через точку M
0
(x
0
, y
0
), то Ax
0
+ By
0
+ C = 0, следователь-
но, C = −(Ax
0
+ By
0
).
2. Если прямая проходит через точку M
0
(x
0
, y
0
) перпендикулярно
вектору N = (A, B), то её общее уравнение можно записать в виде
Ax + By − (Ax
0
+ By
0
) = 0.
3. Если прямая параллельна вектору l = (p, q), то в качестве её
вектора нормали можно принять либо вектор N
1
= (q, −p), либо
N
2
= (−q, p).
4. Если прямые параллельны, то их векторы нормали также па-
раллельны (их можно принять одинаковыми). Если прямые перпен-
дикулярны, то их векторы нормали также перпендикулярны.
5. Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 и A
2
x + B
2
y + C
2
= 0, нужно решить систему
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0.
Следующие простые задачи (9.1.1—9.1.6) встречаются при реше-
нии многих задач.
9.1.1. Найдите то значение параметра C, при котором прямая, за-
данная уравнением 2x − 3y + C = 0, проходит через точку M
0
(2, 4).
Решение. По правилу 1 при x
0
= 2, y
0
= 4 находим 2 · 2 − 3 · 4+
+C = 0 (в уравнение прямой подставили координаты точки M
0
),
4 − 12 + C = 0, C = 8.

Страницы