Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.1. Прямая линия на плоскости (задачи 1 и 2) 125
Решение. По формуле (7.12), в которой надо положить x
1
= 2,
y
1
= 5, A = 8, B = 6, находим
d =
|8 · 2 + 5 · 6 − 7|
√
64 + 36
=
|16 + 30 − 7|
10
=
39
10
= 3,9.
9.1.7. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(1, −3);
B(−5, 7); C(−3, −1). Запишите уравнения прямых, на которых рас-
положе ны: а) медиана AM; б) высота BH этого треугольника.
Решение: а) прямая AM проходит через точку A(1, −3) и точ-
ку M , являющуюся серединой отрезка BC. Находим координаты
точки M: x =
−5 − 3
2
= −4, y =
7 − 1
2
= 3, т.е. M(−4, 3). Прямая
AM параллельна вектору AM = (−5, 6). В качестве вектора нор-
мали прямой AM можно принять вектор N = (6, 5). Записываем
уравнение прямой AM (см. правило 2): 6x + 5y −(6 −15) = 0, или
6x + 5y + 9 = 0;
б) прямая BH перпендикулярна вектору AC = (−4, 2)k(2, −1).
В качестве вектора нормали прямой BH можно принять вектор
N(2, −1). Пользуясь правилом 2, записываем уравнение прямой BH:
2x − y − (−10 − 7) = 0, или 2x − y + 17 = 0.
9.1.8. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точ-
ку M
0
(1, 6) и отсекающей от второго координатного угла треуголь-
ник площадью S = 0,5.
Решение. Будем искать урав-
Рис. 9.1.
нение прямой в виде y = kx + b.
По условию задачи b > 0, k > 0.
Так как эта прямая проходит через
точку M
0
(1, 6), то 6 = k + b. На-
ходим точки пересечения искомой
прямой с осями координат: B(0, b),
A
−
b
k
, 0
. Площадь треугольни-
ка OAB (рис. 9.1) р авна S =
b
2
2k
.
По условию задачи S =
1
2
,
b
2
2k
=
1
2
,
т.е. k = b
2
. Имеем систему
k = b
2
,
6 = k + b.
Отсюда b
2
+ b − 6 = 0. Ре-
шая квадратное уравнение, находим b
1,2
=
−1 ±
√
1 + 24
2
=
−1 ± 5
2
.
Поскольку b > 0, то b = 2, а потому k = 4. Таким образом, искомое
уравнение y = 4x + 2, или 4x − y + 2 = 0.

Страницы