Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

114 8. Методические указания (контрольная работа №1)
"
1 2 3 3 7 30
1 1 1 1 1 7
5 3 1 1 −7 −11
#
→
"
1 2 3 3 7 30
0 −1 −2 −2 −6 −23
0 −2 −4 −4 −12 −46
#
→
→
"
1 2 3 3 7 30
0 −1 −2 −2 −6 −23
0 0 0 0 0 0
#
.
Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен
2, следовательно, система совместна. В качестве базисного выберем
минор
1 2
0 −1
6= 0, т.е. неизвестные x
1
и x
2
приняты в качестве
зависимых, а x
3
, x
4
, x
5
— в качестве свободных. Данная система
эквивалентна системе
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 3x
4
+ 7x
5
= 30,
− x
2
− 2x
3
− 2x
4
− 6x
5
= −23.
Выражаем зависимые переменные через свободные:
x
1
= −16 + x
3
+ x
4
+ 5x
5
,
x
2
= 23 − 2x
3
− 2x
4
− 6x
5
— общее решение системы. Полагая
x
3
= x
4
= 1, x
5
= 3, находим x
1
= −16 + 1 + 1 + 15 = 1, x
2
= 23 −2 −
−2 − 18 = 1.
Мы получили частное решение (1, 1, 1, 1, 3).
8.6.3. Дана с истема линейных однородных уравнений
x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 0,
2x
1
+ x
2
+ 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
7x
1
+ 5x
2
+ 7x
3
− 5x
4
+ 2x
5
= 0,
x
1
+ 2x
2
+ x
3
− 2x
4
− x
5
= 0.
Докажите, что эта система имеет нетривиальные решения. Запишите
общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему решения.
Решение. Исследовать систему будем методом Гаусса. Записыва-
ем её матрицу и, действуя только со строками, упрощаем ее, не меняя
ранга.
A =
1 −1 1 1 2
2 1 2 −1 1
7 5 7 −5 2
1 2 1 −2 −1
→
|
1 −1| 1 1 2
|0
3| 0 −3 −3
0 12 0 −12 −12
0 3 0 −3 −3
.
Видим, что последние три строки пропорциональны. Две из них ,
например две последних, можно вычеркнуть, не меняя ранга мат-
рицы. Ранг матрицы равен двум, следовательно, он меньше числа

Страницы