Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.2. Плоскость (задача 3) 129
т.е. Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0, следовательно, D = −(Ax
0
+ By
0
+
+Cz
0
). Как видим, чтобы записать уравнение плоскости, нужно най-
ти её вектор нормали N и точку M
0
, лежащую на плоскости. Если
найдены какие-нибудь два вектора l
1
и l
2
, параллельные плоскости,
то, очевидно, N = [l
1
, l
2
]. Это замечание очень часто используется
при решении задач. Отметим, что перпендикулярно данной плоскос-
ти через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) можно провести бесконечно много плос-
костей. Все они параллельны вектору нормали данной плоскости.
9.2.1. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку
M
0
(1, −2, 3) перпендикулярно вектору N(4, −3, 2).
Решение. Так как в данном случае вектор N(4, −3, 2) есть нор-
маль плоскости, то в её общем уравнении Ax + By + Cz + D = 0
можно положить A = 4; B = −3; C = 2, т.е. 4x − 3y + 2z + D = 0. По-
скольку точка M
0
(1, −2, 3) лежит в плоскости, то 4 + 6 + 6 + D = 0,
D = −16. Мы нашли уравнение плоскости: 4x − 3y + 2z − 16 = 0.
9.2.2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три точ-
ки: M
1
(1, 2, −1), M
2
(3, 1, −2), M
3
(4, 5, −3).
Решение. Данная плоскость параллельна векторам l
1
= M
1
M
2
=
= (2, −1, −1) и l
2
= M
1
M
3
= (3, 3, −2). Поэтому в качестве векто-
ра нормали можно взять вектор N = [l
1
, l
2
] =
i j k
2 −1 −1
3 3 −2
. Разло-
жим этот определитель по первой строке:
N =
−1 −1
3 −2
i −
2 −1
3 −2
j +
2 −1
3 3
k = 5i + j + 9k,
т.е. N = (5, 1, 9). Записываем уравнение плоскости 5x + y + 9z + D =
= 0. Для определения D используем условие, что плоскость прохо-
дит через точку M
1
(1, 2, −1): 5 + 2 − 9 + D = 0, D = 2. Уравнение
5x + y + 9z + 2 = 0 является искомым. Убедитесь, что точки M
2
и
M
3
также ле жат в этой плоскости.
Ответ. 5x + y + 9z + 2 = 0.
9.2.3. Запишите уравнение плоскости, проходящей через пер-
пендикуляр к плоскости 4x − 3y + 2z − 3 = 0, опущенный из точки
P (1, −5, 3), и точку M
0
(2, 7, −4).
Решение. Искомая плоскость параллельна вектору l
1
= (4, −3, 2)
нормали данной плоскости и вектору l
2
= PM
0
= (1, 12, −7), поэто-
му вектор нормали N искомой плоскости находится из условия
N = [l
1
, l
2
] =
i j k
4 −3 2
1 12 −7
= (−3i + 30j + 51k)k(1, −10, −17).
Записываем уравнение плоскости: x − 10y − 17z + D = 0. Так как

Страницы