Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

130 9. Методические указания (контрольная работа №2)
плоскость проходит через точку P (или M
0
), то 1 + 50 − 51 + D = 0,
D = 0. Мы получили уравнение x − 10y − 17z = 0.
Ответ. x −10y − 17z = 0.
9.2.4. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки
M
1
(2, −3, 5) и M
2
(4, 1, −1) параллельно оси OY .
Решение. Данная плоскость параллельна векторам l
1
= M
1
M
2
=
= (2, 4, −6) и l
2
= (0, 1, 0) = j, поэтому её вектор нормали
N = [l
1
, l
2
] =
i j k
2 4 −6
0 1 0
= 6i + 0j + 2kk(3, 0, 1).
Записываем уравнение плоскости 3x + z + D = 0. Так как плос-
кость проходит через точку M
1
(2, −3, 5) (или M
2
), то 6 + 5 + D = 0,
D = −11. Искомое уравнение имеет вид 3x + z − 11 = 0.
Ответ. 3x + z − 11 = 0.
Решение приведённых задач можно оформить и по-другому. Есл и
плоскость проходит через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) с радиусом-вектором
r
0
параллельно векторам l
1
= (m
1
, n
1
, p
1
) и l
2
= (m
2
, n
2
, p
2
), то в
векторной форме уравнение плоскости можно записать в виде
(r − r
0
, l
1
, l
2
) = 0, или
x − x
0
y − y
0
z − z
0
m
1
n
1
p
1
m
2
n
2
p
2
= 0.
9.2.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку M
0
(1, 4, 3) перпендикулярно п лоскостям 2x − 3y + 4z − 1 = 0 и
x + 4y − z + 5 = 0.
Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна к дан-
ным плоскостям, то она параллельна их нормальным векторам
l
1
= N
1
= (2, −3, 4) и l
2
= N
2
= (1, 4, −1). Поэтому уравнение плос-
кости, согласно сделанному замечанию, можно записать в виде
x − 1 y − 4 z − 3
2 −3 4
1 4 −1
= 0, или −13(x −1) + 6(y −4) + 11(z −3) = 0,
13x − 6y − 11z − 13 + 24 + 33 = 0, 13x −6y − 11z + 44 = 0.
Ответ. 13x − 6y − 11z + 44 = 0.
9.2.6. Запишите уравнение плоскости, проходящей через ось OZ
и точку M
1
(2, −5, 6).
Решение. Искомая плоскость параллельна оси OZ, т.е. вектору
k = (0, 0, 1) и вектору OM
1
= (2, −5, 6), где O(0, 0, 0) — начало коор-
динат. Взяв в качестве точки M
0
точку (0, 0, 0), записываем уравне-
ние плоскости
x y z
2 −5 6
0 0 1
= 0, −5x −2y = 0, или 5x + 2y = 0.
Ответ. 5x + 2y = 0.

Страницы