Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.2. Плоскость (задача 3) 131
9.2.7. Найдите расстояние d от точки P (1, 4, 5) до плоскости
x − 2y − 2z + 3 = 0.
Решение. Используя формулу подраздела 7.4 (задача 4), находим
d =
|1 − 8 − 10 + 3|
√
1 + 4 + 4
=
14
3
.
9.2.8. Запишите уравнения плоскостей, удалённых от плоскости
2x + 6y + 3z − 6 = 0 на расстояние d = 5.
Решение. Искомые плоскости параллельны данной, а потому их
векторы нормали можно взять совпадающими с вектором нормали
N = (2, 6, 3) данной плоскости. Таким образом, искомое уравнение
имеет вид 2x + 6y + 3z + D = 0. Осталось определить свободный
член D. Возьмём любую точку на данной плоскости, например
M
0
(3, 0, 0). По условию она удалена от плоскости 2x+6y +3z +D = 0
на расстояние d = 5. Поэтому
|6 + D|
√
4 + 36 + 9
= 5,
|6 + D|
7
= 5, 6 + D =
= ±35. Отсюда D
1
= 29, D
2
= −41. Имеем две п лоскости 2x+6y+3z+
+29 = 0 и 2x + 6y + 3z − 41 = 0, удалённые от данной точки на рас-
стояние d = 5.
Ответ. 2x + 6y + 3z + 29 = 0, 2x + 6y + 3z − 41 = 0.
Задачи для самостоятельного решения
9.2.9. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку
M
0
(−1, 2, −3) перпендикулярно вектору N = (3, −2, 5).
Ответ. 3x − 2y + 5z + 22 = 0.
9.2.10. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку
M
0
(3, 0, −4) параллельно плоскости x − 4y + 2z + 6 = 0.
Ответ. x − 4y + 2z + 5 = 0.
9.2.11. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три
данные точки: M
1
(0, −1, 2), M
2
(2, 0, 3), M
3
(−3, 4, 0).
Ответ. 7x − y − 13z + 25 = 0.
9.2.12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки
M
1
(−2, 1, 4) и M
2
(0, 3, 1) перпендикулярно плоскости 4x + 3y − 5z+
+4 = 0.
Ответ. x + 2y + 2z − 8 = 0.
9.2.13. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку
M
0
(−5, 2, −1) параллельно плоскости OXZ.
Ответ. y − 2 = 0.
9.2.14. Вычислите площадь треугольника, который отсекает
плоскость 5x − 6y + 3z + 120 = 0 от координатного угла OXY .
Ответ. 240.

Страницы