Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) 133
D
1
= (A
1
B
2
− A
2
B
1
) 6= 0, то в качестве свободного можно принять
неизвестное z, а в качестве зависимых — x и y. Разрешая си-
стему (1) относительно x и y, получаем общее решение системы
x = αz + γ,
y = βz + δ.
Положив z = t, находим параметрические уравнения
(
x = αt + γ,
y = βt + δ,
z = t
и канонические уравнения
x − γ
α
=
y −δ
β
=
z −0
1
прямой. Заметим, что направляющий вектор l параллелен вектору
[N
1
, N
2
], поскольку l⊥N
1
и l⊥N
2
.
Параметрические и канонические уравнения прямой определяют-
ся неоднозначно, поскольку точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) можно выбрать на
прямой многими способами, направляющий вектор l определяется
также с точностью до скалярного множителя, т.е. если l — направ-
ляющий, то вектор λl (λ 6= 0) также направляющий.
Итак, чтобы записать уравнение прямой, необходимо найти либо
две плоскости, проходящие через эту прямую, либо её направляющий
вектор и точку, лежащую на прямой.
Две прямые r = r
1
+ tl
1
и r = r
2
+ tl
2
могут быть параллель-
ными, если l
1
kl
2
; совпадать, если r
1
− r
2
kl
1
kl
2
; пересекаться, если
(r
1
− r
2
, l
1
, l
2
) = 0; скрещиваться, если (r
1
− r
2
, l
1
, l
2
) 6= 0.
Напомним, что здесь r
1
и r
2
— радиусы-векторы каких-нибудь
точек, лежащих на первой или второй прямой соответственно, а l
1
и
l
2
— направляющие векторы.
Следующие простые задачи (9.3.1—9.3.5) встречаются во многих
более сложных.
9.3.1. Запишите параметрические и канонические уравнения
прямой, заданной общими уравнениями:
2x + 3y + z − 16 = 0,
x + 2y − z + 6 = 0.
(а)
Решение. Так как D =
2 3
1 2
= 1 6= 0, то неизвестное z си-
стемы (а) можно принять в качестве свободного и записать
2x + 3y = 16 − z,
x + 2y = −6 + z.
Находим общее решение этой системы, выра-
жая x и y через z:
x = −5z + 50,
y = 3z − 28.
Полагая z = t, записываем пара-
метрические
(
x = −5t + 50,
y = 3t − 28,
z = t
и канонические
x − 50
−5
=
y + 28
3
=
z
1

Страницы