Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6) 135
Поэтому уравнение плоскости можно записать в виде x + 2y + z+
+D = 0. Поскольку плоскость проходит через точку M
1
(−4, 1, 3), то
−4 + 2 + 3 + D = 0, D = −1. Уравнение x + 2y + z − 1 = 0 является
искомым.
Ответ. x + 2y + z − 1 = 0.
9.3.5. Докажите, что прямые
(
x = 2t + 1,
y = 3t + 4,
z = −2t + 3
и
(
x = t + 4,
y = 2t + 8,
z = 3t − 4
пересекаются. Найдите координаты точки M
0
их пересечения.
Решение. Доказать, что прямые пересекаются можно так же, как
и в задаче 9.3.4. Но мы рассмотрим другой способ решения. Если
данные прямые пересекаются, например, в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
), то
существуют значения параметра t = t
1
для первой прямой и t = t
2
—
для другой, которые соответствуют одной и той же точке M
0
. Поэто-
му получаем систему
(
2t
1
+ 1 = t
2
+ 4,
3t
1
+ 4 = 2t
2
+ 8,
−2t
1
+ 3 = 3t
2
− 4,
или
(
2t
1
− t
2
= 3,
3t
1
− 2t
2
= 4,
2t
1
+ 3t
2
= 7.
Имеем систему трёх уравнений с двумя неизвестными t
1
и t
2
. Ес-
ли система совместна, то прямые пересекаются, если несовместна,
то не пересекаются. Записываем основную и расширенную матрицу
системы:
"
2 −1 | 3
3 −2 | 4
2 3 | 7
#
→
"
|
2 −1| | 3
|0
−1| | − 1
0 4 | 4
#
(первую строку умно-
жили на три и вычли её из второй, умноженной на два, затем первую
строку вычли из последней).
Видим, что ранг основной и расширенной матриц равен двум,
т.е. система совместна, и прямые пересекаются. Данная система эк-
вивалентна системе
2t
1
− t
2
= 3,
−t
2
= −1.
Следовательно, t
2
= 1, t
1
= 2.
Положив в уравнении первой прямой t = 2 (второй прямой t = 1),
найдём точку пересечения M
0
(5, 10, −1).
9.3.6. Найдите точку Q, являющуюся проекцией точки
P (−46, 2, −12) на прямую L
x − 2y + z + 12 = 0,
2x + 3y −z − 22 = 0.
(б)
Найдите точку S, симметричную точке P относительно этой прямой.
Решение. Точку Q найдём как точку пересечения прямой L
c плоскостью Π, проходящей через точку P перпендикулярно
прямой L. Запишем параметрические уравнения прямой L. Так
как
−2 1
3 −1
6= 0, то неизвестное x можно принять в качестве

Страницы