Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

136 9. Методические указания (контрольная работа №2)
свободного системы (б). Положим x = t и выразим из системы (б)
неизвестные y и z через t.
x = t,
y = −3t + 10,
z = −7t + 8
)
— (в)
параметрические уравнения данной прямой. Направляющий вектор
l = (1, −3, −7) можно принять в качестве вектора нормали плос-
кости Π. Записываем уравнение плоскости Π: x − 3y − 7z + D = 0,
−46 − 6 + 84 + D = 0 (поскольку точка P лежит в плоскости Π),
D = −32. Уравнение плоскости Π: x − 3y − 7z − 32 = 0. Находим
точку пересечения прямой (в) с плоскостью Π (см. задачу 9.3.3):
t − 3(−3t + 10) − 7(−7t + 8) − 32 = 0, 59t − 118 = 0, t = 2. Из (в) при
t = 2 находим координаты точки Q(2, 4, −6).
Координаты точки S обозначим (x, y, z).
Рис. 9.5.
Так как точка Q — середина отрезка P S
(рис. 9.5), то
−46 + x
2
= 2, x = 50;
2 + y
2
= 4,
y = 6;
−12 + z
2
= −6, z = 0, S(50, 6, 0).
Ответ. Q(2, 4, −6); S(50, 6, 0).
9.3.7. Найдите координаты точки Q, являющейся проекцией точ-
ки P (−2, 1, 4) на плоскость x − 4y + 5z + 28 = 0. Найдите координа-
ты точки S, симметричной точке P относительно данной плоскости.
Решение. Точку Q находим как точку пересечения прямой L, про-
ходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. Прямая
L параллельна вектору нормали N = (1, −4, 5) плоскости, поэтому
вектор N является направляющим для этой прямой. Записываем па-
раметрические уравнения прямой L:
(
x = t − 2,
y = −4t + 1,
z = 5t + 4
и находим точ-
ку пересечения её с плоскостью: (t−2)−4(−4t+1)+5(5t+4)+28 = 0,
42t + 42 = 0; t = −1. Следовательно, Q(−3, 5, −1). (В уравнении пря-
мой положили t = −1.) Координаты точки S находим таким же спо-
собом, как и в задаче 9.3.6: S(−4, 9, −6).
Ответ. Q(−3, 5, −1); S(−4, 9, −6).
9.3.8. Найдите расстояние d от точки P (1, −2, 3) до прямой L
(
x = 2t + 4,
y = −t + 3,
z = 2t − 1.

Страницы