Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

138 9. Методические указания (контрольная работа №2)
Решение. Неизвестен направляющий вектор l прямой L. Пусть
l = (m, n, p). По условию задачи вектор l параллелен плоскости
x + 2y + 3z + 2 = 0, следовательно, он перпендикулярен вектору её
нормали N = (1, 2, 3). Поэтому (l, N) = 0, m + 2n + 3p = 0. Вектор
l также перпендикулярен оси OZ, т.е. вектору k = (0, 0, 1), следо-
вательно, p = 0. Таким образом, m + 2n = 0. Положим n = 1, тогда
m = −2, т.е. l = (−2, 1, 0). Запишем каноническое уравнение прямой
L:
x
−2
=
y −4
1
=
z
0
. Полагая в этом уравнении y = 0, получим x = 8,
z = 0. Точка Q имеет координаты (8, 0, 0).
Ответ. (8, 0, 0).
Замечание. Из условия перпендикулярности прямой L оси OZ не
следует, что прямая L пересекает ось OZ, следует лишь перпенди-
кулярность вектора l оси OZ.
9.3.11. Две прямые, пересекающиеся в точке P (2, 3, 1), парал-
лельны плоскости x + 2y + 2z −4 = 0. Одна из них пересекает ось
OZ, а вторая — ось OY . Найдите косинус острого угла между на-
правляющими векторами этих прямых.
Решение. Одна из прямых проходит через точку P (2, 3, 1) и
точку M
1
(0, 0, z
0
), а вторая — через точку P (2, 3, 1) и точку
M
2
(0, y
0
, 0). Поэтому их направляющими векторами l
1
и l
2
являют-
ся векторы PM
1
и PM
2
, следовательно, l
1
= (−2, −3, z
0
− 1), l
2
=
= (−2, y
0
− 3, −1). По условию задачи векторы l
1
и l
2
параллель-
ны плоскости x + 2y + 2z − 4 = 0, т.е. перпендикулярны вектору
N = (1, 2, 2). Поэтому (l
1
, N) = 0, −2 − 6 + 2(z
0
− 1) = 0, (l
2
, N) =
= −4 + 2(y
0
− 3) = 0. Отсюда z
0
= 5; y
0
= 5. Таким образом, l
1
=
= (−2, −3, 4), l
2
= (−2, 2, −1). Находим косинус угла между векто-
рами l
1
и l
2
:
cos ϕ =
(l
1
, l
2
)
|l
1
||l
2
|
=
4 − 6 − 4
√
4 + 9 + 16
√
4 + 4 + 1
= −
2
3
√
29
.
Ответ. cos ϕ = −
2
3
√
29
.
9.3.12. Прямая L проходит через точку P (1, 2, −4), пересекает
ось OX в точке Q(x
0
, 0, 0) и пересекает прямую
(
x = t + 2,
y = 3t − 1,
z = 4t + 3.
Най-
дите x
0
.
Решение. Как нам известно, условием пересечения двух пря-
мых является равенство (r
2
− r
1
, l
1
, l
2
) = 0. В нашем случае
r
2
= (1, 2, −4), r
1
= (2, −1, 3), l
1
= (1, 3, 4), l
2
= PQ = (x
0
− 1, −2, 4).

Страницы