Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

134 9. Методические указания (контрольная работа №2)
уравнения прямой. Точка M
0
(50, −28, 0) получена из параметриче-
ских уравнений при t = 0. В качестве точки M
0
можно взять и дру-
гую точку, например (0, 2, 10), получающуюся при t = 10.
Ответ. l = (−5, 3, 1); M
0
(50, −28, 0).
9.3.2. Запишите канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через точки M
1
(1, −3, 4) и M
2
(−2, 1, 2).
Решение. В качестве направляющего вектора можно взять вектор
l = M
1
M
2
= (−3, 4, −2), а в качестве точки M
0
— любую из точек M
1
или M
2
. Поэтому
x −1
−3
=
y + 3
4
=
z −4
−2
— канонические уравнения
прямой M
1
M
2
.
9.3.3. Найдите точку M
0
пересечения прямой
(
x = 3t − 2,
y = −2t + 3,
z = 4t − 1
и
плоскости x + 2y + 4z −30 = 0.
Решение. Находим то значение параметра t
0
, при котором
происходит пересечение прямой и плоскости. Так как точка
M
0
(3t
0
− 2, −2t
0
+ 3, 4t
0
− 1) лежит в данной плоскости, то её коор-
динаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, 3t
0
−
−2 + 2(−2t
0
+ 3) + 4(4t − 1) − 30 = 0, 3t
0
−2 −4t
0
+ 6 + 16t −4 −30 =
= 15t
0
− 30 = 0, t
0
= 2.
Полагая в параметрических уравнениях прямой t = 2, находим
точку пересечения M
0
(4, −1, 7).
Ответ. (4, −1, 7).
9.3.4. Докажите, что прямые
(
x = 3t − 4,
y = −2t + 1,
z = t + 3
и
(
x = 2t − 5,
y = −3t + 5,
z = 4t − 4
пересекаются. Найдите уравнение плоскости, в которой они распо-
ложены.
Решение. Как мы уже отмечали, условием пересечения двух пря-
мых является выполнение равенства (r
1
− r
2
, l
1
, l
2
) = 0. В нашем
случае r
1
= (−4, 1, 3), r
2
= (−5, 5, −4), l
1
= (3, −2, 1), l
2
= (2, −3, 4).
Находим
(r
1
− r
2
, l
1
, l
2
) =
−1 4 −7
3 −2 1
2 −3 4
=
−1 4 −7
0 10 −20
0 5 −10
= 0,
т.е. прямые пересекаются.
Плоскость, в которой они расположены, параллельна векторам l
1
,
l
2
и проходит через точку M
1
(−4, 1, 3). В качестве вектора нормали
можно взять N = [l
1
, l
2
] =
i j k
3 −2 1
2 −3 4
= (−5i − 10j − 5k)k(1, 2, 1).

Страницы