Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

132 9. Методические указания (контрольная работа №2)
9.2.15. Вычислите объём пирамиды, ограниченной плоскостью
2x − 3y + 6z − 12 = 0 и координатными плоскостями.
Ответ. 8.
9.2.16. На оси OY найдите точку, отстоящую от плоскости
x + 2y − 2z − 2 = 0 на расстояние d = 4.
Ответ. (0, 7, 0), (0, −5, 0).
9.3. Прямая в пространстве (задачи 4, 5, 6)
Необходимо изучить подраздел 7.5.
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения
двух плоскостей:
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
— (1)
общее уравнение прямой, где N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
) ∦ N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
).
Если известен направляющий вектор l = (m, n, p) прямой и какая-
нибудь точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) на ней, то прямую можно определить
соотношением
r = r
0
+ tl, (2)
где r
0
— радиус-вектор точки M
0
, r — радиус-вектор любой точки
прямой, t(−∞ < t < +∞) — числовой параметр.
В координатной форме уравнение (2) можно записать в двух ви-
дах:
x = x
0
+ tm,
y = y
0
+ tn,
z = z
0
+ tp
)
(3)
и
x − x
0
m
=
y − y
0
n
=
z − z
0
p
. (4)
Соотношения (3) называют параметрическими, а (4) — кано-
ническими уравнениями прямой. Подчеркнём, что в параметриче-
ских уравнениях прямой коэффициенты при параметре t определя-
ют координаты направляющего вектора. Нужно уметь переходить
от уравнения прямой в форме (1) к уравнениям прямой в формах
(3) и (4). Покажем, как это сделать.
Уравнения (1) можно рассматривать как систему относи-
тельно неизвестных x, y, z. Так как векторы N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
)
и N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
) непараллельны, то один из определителей
D
1
=
A
1
B
1
A
2
B
2
, D
2
=
A
1
C
1
A
2
C
2
или D
3
=
B
1
C
1
B
2
C
2
не равен
нулю. Следовательно, ранг основной матрицы системы, а пото-
му и расш иренной, равен двум. Поэтому в системе (1) одно неиз-
вестное свободное, а два других — зависимые. Если, например,

Страницы