Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7.3. Уравнения прямой на плоскости 83
Очевидно, d = |Пр
N
M
0
M
1
| =
Рис. 7.5.
=
|(N
1
, M
0
M
1
)|
|N|
=
=
|A(x
1
− x
0
) + B(y
1
− y
0
)|
|N|
=
=
|Ax
1
+ By
1
+ C|
√
A
2
+ B
2
. Итак:
d =
|Ax
1
+ By
1
+ C|
√
A
2
+ B
2
. (7.12)
Пример 1. Найдите расстояние от точки (2, 3) до прямой
3x + 4y + 10 = 0.
Решение. По формуле (7.12): d =
|6 + 12 + 10|
√
9 + 16
=
28
5
.
Задача 4. Охарактеризовать взаимное расположение прямых, за-
данных своими общими уравнениями A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 и A
2
x+
+B
2
y + C
2
= 0.
Если
A
1
B
1
A
2
B
2
6= 0, N
1
(A
1
, B
1
) 6k N
2
(A
2
, B
2
), то прямые пере-
секаются и их точку пересечения можно найти, решая систему
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0.
Если
A
1
B
1
A
2
B
2
= 0, т.е.
A
1
A
2
=
B
1
B
2
, то прямые параллельны. Они
различны, если
A
1
A
2
=
B
1
B
2
6=
C
1
C
2
, и совпадают, если
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
.
Задача 5. Найдите угол между прямыми. Пусть прямые пересе-
каются, т.е. A
1
B
2
− A
2
B
1
6= 0. В качестве угла ϕ между прямыми
примем угол между их нормалями. Поэтому
cos ϕ =
(N
1
, N
2
)
|N
1
||N
2
|
=
A
1
A
2
+ B
1
B
2
p
A
2
1
+ B
2
1
p
A
2
2
+ B
2
2
.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y = k
1
x + b
1
и y = k
2
x + b
2
, то тангенс одного из углов между пря-
мыми можно найти по формуле
tg ϕ =
k
2
− k
1
1 + k
1
k
2
.

Страницы