Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

86 7. Приложение линейной алгебры
В частности, если плоскость проходит через точки M
0
(x
0
, y
0
, z
0
),
M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и M
2
(x
2
, y
2
, z
2
), то можно в (7.14) и (7.15) положить
l
1
= M
0
M
1
, l
2
= M
0
M
2
, т.е. m
1
= x
1
− x
0
, n
1
= y
1
− y
0
, p
1
= z
1
− z
0
;
m
2
= x
2
− x
0
, n
2
= y
2
− y
0
, p
2
= z
2
− z
0
.
Задача 3. Охарактеризовать взаимное расположение трёх различ-
ных плоскостей A
i
x + B
i
y + C
i
z = D
i
, i = 1, 2, 3.
Три плоскости пересекаются в одной точке, если их век-
торы нормалей N
i
(A
i
, B
i
, C
i
), i = 1, 2, 3, не компланарны, т.е.
(N
1
, N
2
, N
3
) 6= 0. Если же (N
1
, N
2
, N
3
) = 0 и среди векторов N
i
нет
параллельных, то эти плоскости пересекаются либо по трём парал-
лельным прямым, либо по одной прямой.
Предлагается самостоятельно охарактеризовать случай, когда
среди векторов N
i
есть параллельные.
Задача 4. Найдите расстояние от точки M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) до плоско-
сти Ax + By + Cz + D = 0.
Совершенно аналогично, как и при выводе формулы (7.12),
получаем d =
|Ax
1
+ By
1
+ Cz
1
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
7.5. Уравнения прямой в пространстве
Задача 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) с радиусом-вектором r
0
параллельно вектору l(m, n, p).
(Вектор l называют направляющим вектором прямой.) Пусть r —
радиус-вектор произвольной точки прямой. Тогда r−r
0
k l, а поэтому
r = r
0
+ tl —
параметрическое уравнение прямой в векторной форме. Выражая
через координаты, получаем
(
x = x
0
+ tm,
y = y
0
+ tn, —
z = z
0
+ tp
параметрические уравнения прямой в координатной форме. Во с-
пользовавшись условием параллельности двух векторов (их коор-
динаты пропорциональны), находим
x − x
0
m
=
y − y
0
n
=
z − z
0
p
—
каноническ ие уравнения прямой. Если прямая проходит через точки
M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и M
1
(x
1
, y
1
, z
1
), то в качестве вектора l можно взять
вектор M
0
M
1
(x
1
− x
0
, y
1
− y
0
, z
1
− z
0
), т.е. m = x
1
− x
0
, n = y
1
− y
0
,
p = z
1
− z
0
.

Страницы