ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
88 7. Приложение линейной алгебры
Искомое расстояние, очевидно, равно высоте M
3
H параллелепи-
педа, построенного на векторах r
2
− r
1
, l
1
, l
2
, а потому
d =
|(r
2
− r
1
, l
1
, l
2
)|
|[l
1
, l
2
]|
. (7.17)
Задача 4. Охарактеризовать взаимное расположение прямых
r = r
1
+ tl
1
,
r = r
2
+ tl
2
.
(7.18)
Если l
1
и l
2
параллельны, то прямые (7.18) либо параллельны,
либо совпадают. Если прямые совпадают, то вектор r
2
−r
1
паралле-
лен общему направляющему вектору этих прямых. Если l
1
6k l
2
, то
прямые либо пересекаются, либо являются скрещивающимися. Если
прямые пересекаются, то расстояние d между ними равно нулю. Из
(7.17) получаем
(r
2
− r
1
, l
1
, l
2
) = 0, l
1
6k l
2
—
условие пересечения прямых.
Если прямые скрещиваются, то d 6= 0, т.е.
(r
2
− r
1
, l
1
, l
2
) 6= 0, —
условие того, что прямые (7.18) скрещиваются.
Как видим, прямые и плоскости задаются линейными уравне-
ниями относительно декартовых координат. В последующих разде-
лах изучим кривые, задаваемые уравнением второго порядка отно-
сительно декартовых координат:
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ 2a
12
xy + 2a
01
x + 2a
01
y + a
00
= 0, (7.19)
где a
ik
— константы. Такие кривые н азывают кривыми второго по-
рядка. К ним относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабо-
ла. К изучению этих кривых мы и переходим. Заметим, что первые
три слагаемые в (7.19) образуют квадратичную форму, а следующие
два — линейную.
При некоторых соотношениях на коэффициенты a
ik
уравнение
(7.19) может не определять ни одной точки или определять только
одну, левая часть этого уравнения может иногда разлагаться на два
линейных сомножителя, в этом случае уравнение (7.19) определяет
пару пересекающихся или параллельных прямых, которые могут и
совпасть между собой.
7.6. Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для ко-
торых сумма расстояний до двух данных точек этой же пл оскости,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
