ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7.6. Эллипс 89
называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем рас-
стояние между фокусами.
Задача. Получить уравнение эл липса.
Пусть F
1
и F
2
— фокусы (рис. 7.10). Положим |F
1
F
2
| = 2c. Де-
картову систему координат выберем следующим образом: ось OX
направим по прямой F
1
F
2
, а начало поместим в середину отрезка
F
1
F
2
. Тогда F
1
(−c, 0), F
2
(c, 0). Пусть M(x, y) — п роизвольная точка
эллипса. Тогда |F
1
M| + |F
2
M| = 2a (величина a дана, причём a > c).
Имеем |F
1
M|=r
1
=
p
(x + c)
2
+ y
2
, |F
2
M| = r
2
=
p
(x − c)
2
+ y
2
. И,
следовательно, уравнение эллипса имеет вид
r
1
+ r
2
=
p
(x + c)
2
+ y
2
+
p
(x − c)
2
+ y
2
= 2a.
Числа r
1
и r
2
называют фокаль-
-
6
. . .
.
y
F
1
0
F
2
x
M(x, y)
Рис. 7.10.
ными радиусами эллипса.
Упростим это уравнение. Так
как r
2
1
− r
2
2
= 4cx, r
1
+ r
2
= 2a,
то r
1
= a +
c
a
x, r
2
= a −
c
a
x, т.е.
a ±
c
a
x =
p
(x ± c)
2
+ y
2
. Возведём
обе части этого р авенства в квад-
рат. Получим
a
2
− c
2
a
2
x
2
+ y
2
=
= a
2
− c
2
. Так как a > c, то можно обозначить a
2
− c
2
= b
2
и
записать
b
2
a
2
x
2
+ y
2
= b
2
или
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 — (7.20)
каноническое уравнение эллипса.
Рис. 7.11.
Можно доказать, что при возведе-
нии в квадрат мы получили урав-
нение, э квивалентное исходному.
Оси OX и OY являются ося-
ми симметрии, а O(0, 0) — цен-
тром симметрии. Точки A
1
(−a, 0),
A
2
(a, 0), B
1
(0, b) и B
2
(0, −b) назы-
ваются вершинами эллипса. Так
как |x| ≤ a, |y| ≤ b, то эллипс
— кривая, расположенная внутри
прямоугольника, стороны которо-
го расположены на прямых x = ±a, y = ±b (рис. 7.11).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
