ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7.8. Приведение уравнения кривых второго порядка 91
b
2
= c
2
− a
2
, получим каноническое уравнение гиперболы
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1.
Гипербола — кривая, симмет-
Рис. 7.12.
ричная относительно осей коорди-
нат и начала координат (рис. 7.12).
Точки A
1
(−a, 0), A
2
(a, 0) называ-
ются вершинами гиперболы. Так
как |x| ≥ a, то гипербола нахо-
дится вне полосы, ограниче нной
прямыми x = ±a. Ось OY назы-
вают мнимой осью гиперболы, а
ось OX — действительной. Пря-
мые y = ±
b
a
x являются асимптота-
ми гиперболы. Число a называют
действительной полуосью гиперболы, а число b — мнимой полуосью.
Величина ε =
c
a
называется эксцентриситетом гиперболы, ε > 1,
а прямые x = ±
a
ε
— её директрисами. Они обладают тем же свой-
ством, что и для эллипса.
Пример. Докажите, что уравнение 4x
2
− 24x − 9y
2
+ 36y = 36
определяет гиперболу. Найдите её центр симметрии и асимптоты.
Решение. Выделяя полные квадраты, данное уравнение мож-
но записать в виде 4(x − 3)
2
− 9(y −2)
2
= 36 или
(x − 3)
2
9
−
−
(y −2)
2
4
= 1. Положим x
1
= x − 3, y
1
= y −2. Тогда
x
2
1
9
−
y
2
1
4
= 1.
Данная кривая — гипербола с центром в точке x
1
= x − 3 = 0,
y
1
= y −2 = 0, т.е. в точке (3, 2). Уравнение асимптот гиперболы име-
ет вид y −2 = ±
2
3
(x − 3) или 2x − 3y = 0, 2x + 3y −12 = 0.
Итак, мы рассмотрели кривые второго порядка: эллипс, эксцен-
триситет которого меньше единицы, гиперболу, эксцентриситет ко-
торого больше едини цы. Кривая второго порядка, эксцентриситет
которой равен единице, является параболой (рассмотрена в п. 7.1).
7.8. Приведение уравнения кривых второго
порядка к каноническому виду
Если кривая задана уравнением
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ 2a
12
xy + a
01
x + a
02
y + a
00
= 0, (7.21)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
