ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
92 7. Приложение линейной алгебры
то это уравнение можно привести к каноническому виду путём пе-
рехода к новой системе координат. Этот процесс можно разбить на
два этапа.
1. Отыскание главных осей квадратичной формы
B = a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ 2a
12
xy.
Для этого находим её собственные числа λ
1
и λ
2
и собственные
векторы. Если окажется, что λ
1
· λ
2
> 0, то кривая эллиптического
типа, если λ
1
·λ
2
< 0, то гиперболического типа. При λ
1
·λ
2
= 0 име-
ем кривую параболического типа. Приняв в качестве новых базис-
ных векторов декартовой системы главные оси квадратичной фор-
мы, уравнение (7.21) приведём к виду
λ
1
x
2
1
+ λ
2
y
2
1
+ ax
1
+ by
1
+ c = 0,
причём (a, b) = (a
01
, a
02
)Q, где Q — матрица перехода от старого
ортонормированного базиса к новому.
2. Отыскание нового начала системы координат O
1
, преобразова-
ние параллельного переноса начала O в точку O
1
.
Как это делать практически, покажем на примере. Предполага-
ем, что все системы координат имеют правую ориентацию.
Пример 1. Построить кривую
x
2
+ y
2
+ xy −3x −3y = −2. (а)
Приводим квадратичную форму B = x
2
+y
2
+xy к главным осям
(как в п. 6.7). Её матрица B =
1 0,5
0,5 1
.
Записываем характеристическое уравнение этой матрицы
1 − λ 0,5
0,5 1 − λ
= 0, (1 − λ)
2
− 0,25 = 0.
Его корни λ
1
= 0,5, λ
2
= 1,5 являются собственными числами. Так
как λ
1
· λ
2
> 0, то кривая (а) — эллипс. Координаты собственно-
го вектора, отвечающего числу λ
1
= 0,5, удовлетворяют соотноше-
нию ξ
1
+ ξ
2
= 0. В качестве нового базисного вектора примем вектор
i
1
=
1
√
2
, −
1
√
2
. Другой базисный вектор j
1
=
1
√
2
,
1
√
2
. Записы-
ваем матрицу Q перехода от базиса 0, i, j к 0, i
1
, j
1
:
Q =
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
, Q
−1
= Q
T
=
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
1
√
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
