ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
90 7. Приложение линейной алгебры
Число a в уравнении (7.20) называют большой, а b — малой по-
луосью эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса,
называют фокальной осью.
Величина ε =
c
a
=
√
a
2
− b
2
a
называется эксцентриситетом эл-
липса. Так как c < a, то ε < 1.
Прямые x = ±
a
ε
называются директрисами эллипса. Предлага-
ется доказать, что
r
1
d
= ε, где d — расстояние от точки M эллипса
до ближайшей от фокуса F
1
директрисы x = −
a
ε
, и что
r
2
d
= ε,
где d — расстояние от точки M эллипса до директрисы x =
a
ε
, а
r
1
= a + εx, r
2
= a −εx, — фокальные радиусы точки M . Если c = 0,
то a
2
= b
2
и эллипс превращается в окружность, при этом ε = 0.
Пример. Докажите, что уравнение x
2
+ 4x + 4y
2
− 16y −4 = 0
определяет эллипс. Н айдите координаты его центра симметрии и
эксцентриситет.
Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квад-
раты: (x + 2)
2
+ 4(y −2)
2
= 4 + 4 + 16 = 24. Введём новые переменные
x
1
= x + 2, y
1
= y −2. Тогда x
2
1
+ 4y
2
1
= 24 или
x
2
1
24
+
y
2
1
6
= 1. Послед-
нее уравнение определяет эллипс, причём a
2
= 24, b
2
= 6. Центр его
находится в точке (−2, 2). Так как c =
√
a
2
− b
2
, то в нашем случае
c =
√
24 − 6 =
√
18, а потому ε =
√
18
√
24
=
√
3
2
.
7.7. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для ко-
торых абсолютная величина разности расстояний до двух данных
точек F
1
и F
2
этой плоскости, называемых фокусами, есть величина
постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Точки F
1
и F
2
называют фокусами гиперболы.
Задача. Получить уравнение гиперболы.
Положим |F
1
F
2
| = 2c. Систему координат выберем так же, как
и в случае эллипса. Тогда F
1
(−c, 0), F
2
(c, 0). Если M(x, y) — произ-
вольная точка гиперболы, то
|
p
(x + c)
2
+ y
2
−
p
(x − c)
2
+ y
2
| = 2a,
a = const, c > a. Последнее уравнение и определяет гиперболу. Про-
ведя упрощение этого уравнения, как и в случае эллипса, обозначив
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
