Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Дифференциальное исчисление
11. Понятия дифференцируемой функции
и производной матрицы
Наиболее простыми и хорошо изученными являются линей-
ные функции, т.е. функции вида f(x) = C(x − x
0
). При изуче-
нии более сложных зависимостей пытаются заменить их при-
ближенно линейными. Такую замену, т. е. процесс выделения
линейной части, называют процессом линеаризации. Многие
физические понятия появились именно в процессе линеариза-
ции. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Задача о теплоёмкости. Количество Q(t) теп-
ла, требующееся для нагревания 1 г некоторого вещества от
0 до t градусов, является нелинейной функцией, вид которой,
как правило, неизвестен. Но в большинстве практически важ-
ных задач величину ∆Q(t
0
) — количество тепла, требуемого
для нагревания тела от температуры t
0
до температуры t, —
можно представить в виде
∆Q(t
0
) = Q(t) − Q(t
0
) = C(t − t
0
) + (t − t
0
)α, (а)
где C – постоянный множитель; α — бесконечно малая при
t → t
0
. При малом t − t
0
вторым слагаемым пренебрегают и
получают приближенную формулу
∆Q(t
0
)
∼
=
C(t − t
0
). (б)
Коэффициент C называется удельной теплоемкостью веще-
ства при t = t
0
. Таким образом, нелинейная зависимость (a)
заменена приближенно линейной зависимостью (б).
Пример 2. Задача о силе тока. Пусть Q(t) — количе-
ство электричества, протекающего через поперечное сечение
проводника за время t. Тогда разность ∆Q(t
0
) = Q(t) − Q(t
0
)
определяет количество электричества, протекающего за про-
межуток времени от t
0
до t. И в этом случае, как и в задаче
с теплоёмкостью, можно записать соотношение (а) и прибли-
женное равенство (б):
Q(t) − Q(t
0
)
∼
=
I(t − t
0
).

Страницы