Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

100 Дифференциальное исчисление
Константу I называют силой тока в момент времени t = t
0
.
По аналогичной схеме вводятся в физике понятия удельного
коэффициента расширения, плотности вещества, коэффициен-
та диффузии, константы скорости реакций и многие другие.
В дифференциальном исчислении выясняют, для каких
функций возможна линеаризация и как найти линейную часть.
Пусть f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R
m
— вектор-функция векторного ар-
гумента, где X — некоторое открытое множество и x
0
— любая
точка (вектор) из X. Обозначим x−x
0
= ∆x, f(x)−f(x
0
) = ∆f,
где x — другая точка из X. Величину ∆x называют прираще-
нием аргумента, а ∆f — приращением функции при переходе
из x
0
в x. Функция f(x) называется дифференцируемой в точ-
ке x
0
, если существует такой линейный оператор A : R
n
→ R
m
,
что имеет место равенство
∆f(x
0
) = f(x) − f(x
0
) = A(x − x
0
) + α(x − x
0
), (в)
где lim
x→x
0
|α(x − x
0
)|
|x − x
0
|
= 0, т. е. величина α(x−x
0
) бесконечно ма-
лая порядка выше первого относительно x − x
0
. Соотношение
(в) можно переписать в виде
∆f = A · ∆x + α(x
0
, ∆x), (г)
где A — матрица линейного оператора A : R
n
→ R
m
, называе-
мая производной матрицей или просто производной отображе-
ния f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R
m
в точке x
0
. Производную обознача-
ют A = f
0
(x
0
).
Слагаемое A · ∆x обозначают df и называют дифференци-
алом функции f(x) в точке x
0
, соответствующим приращению
аргумента ∆x. Дифференциал мы будем изучать позднее в раз-
деле 19.
Матрица A имеет размер m × n. В случае m = n = 1 она
имеет единственный элемент b, который может быть найден из
(г) по формуле
b = lim
∆x→0
∆f
∆x
= f
0
(x
0
).

Страницы