Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

102 Дифференциальное исчисление
Решение. f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) =
·
x
0
+ ∆x
(x
0
+ ∆x)
2
¸
−
·
x
0
x
2
0
¸
=
=
·
∆x
2x
0
∆x + (∆x)
2
¸
=
·
1
2x
0
¸
·∆x+
·
0
(∆x)
2
¸
. Здесь роль
A·∆x играет слагаемое
·
1
2x
0
¸
·∆x, а α(∆x) =
·
0
(∆x)
2
¸
, при-
чём lim
∆x→0
|α(∆x)|
|∆x|
= lim
∆x→0
|∆x|
2
|∆x|
= lim
∆x→0
|∆x| = 0, т. е. величина
α(∆x) — бесконечно малая порядка выше первого. По опреде-
лению функция f(x) =
·
x
x
2
¸
дифференцируема и f
0
(x
0
) =
=
·
1
2x
0
¸
.
Задачи для самостоятельного решения
11.3. Исходя из определения докажите, что функция
f(x) = x
2
+ 4x дифференцируема в любой точке x
0
и f
0
(x
0
) =
= 2x
0
+ 4.
11.4. Исходя из определения докажите, что функция
f(x) =
·
3x
2
+ 1
x
3
+ 2
¸
дифференцируема в любой точке x
0
и
f
0
(x
0
) =
·
6x
0
+ 1
3x
2
0
+ 2
¸
.
11.5. Исходя из определения докажите, что функция
f(x, y) =
·
5x + 4y
2x + 3y
¸
дифференцируема в любой точке (x
0
, y
0
)
и найдите ее производную матрицу f
0
(x
0
, y
0
).
11.6. Исходя из определения найдите производную f
0
(x
0
),
если
а) f(x) = 2
x
;
б) f(x) = sin 2x.

Страницы