ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11. Понятия дифференцируемой функции 101
Величина b совпадает с производной от скалярной функции
одного скалярного аргумента. Эти производные изучаются в
средней школе.
Рассмотрим функцию f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R — числовую
функцию векторного аргумента z = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Зафик-
сируем все переменные, кроме x
1
. В результате переменная z
будет функцией одной переменной x
1
. Предел
lim
∆
x
1
→
0
f(x
1
+ ∆x
1
, x
2
, . . . , x
n
) − f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
∆x
1
,
если он существует и конечен, называется частной производной
от функции f по x
1
и обозначается
∂f
∂x
1
. Аналогично можно
определить частные производные
∂f
∂x
2
,
∂f
∂x
3
, . . . ,
∂f
∂x
n
. В этом
случае A = f
0
(x) =
·
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
¸
.
11.1. Докажите, исходя из определения, что функция y =
= x
3
дифференцируема в любой точке x
0
и при этом y
0
= 3x
2
0
.
Решение. Находим ∆f = (x
0
+ ∆x)
3
− x
3
0
= x
3
0
+ 3x
2
0
∆x+
+3x
0
(∆x)
2
+ (∆x)
3
−x
3
0
= 3x
2
0
·∆x + 3x
0
(∆x)
2
+ (∆x)
3
.
Сравнивая последнее соотношение с (г), видим, что
A · ∆x = 3x
2
0
· ∆x, α(∆x) = 3x
0
(∆x)
2
+ (∆x)
3
.
Так как lim
∆x→0
α(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(3x
0
∆x + (∆x)
2
) = 0, то α(∆x) —
бесконечно малая порядка выше первого относительно ∆x. По
определению функция f (x) = x
3
в точке x
0
дифференцируема
и f
0
(x
0
) = 3x
2
0
.
11.2. Докажите, исходя из определения, что функция
X ⊂ R → Y ⊂ R
2
вида f(x) =
·
x
x
2
¸
дифференцируема в
любой точке x
0
и f
0
(x
0
) =
·
1
2x
0
¸
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
