Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12. Техника дифференцирования функций 103
12. Техника дифференцирования функций
скалярного аргумента
Процесс отыскания производной матрицы называют диф-
ференцированием. Как следует из теории, элементами произ-
водной матрицы являются либо производные f
0
x
=
df
dx
ска-
лярной функции одного скалярного аргумента, либо частные
производные
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
скалярной функции векторно-
го аргумента. Надо научиться находить эти производные.
Укажем правила отыскания производных. Особенно часто
применяется правило дифференцирования композиции отоб-
ражений (сложной функции): если функция u(x) диффе-
ренцируема в точке x
0
, а функция f(u) дифференцируема
в соответствующей точке
y
0
=
u
(
x
0
)
, то сложная функция
f[u(x)] дифференцируема в точке x
0
и при этом
{f[u(x)]}
0
= f
0
u
(u) · u
0
x
(x). (а)
Функция u(x) сама может быть сложной функцией от x:
u = u [t(x)], и тогда {f [u (t(x))]}
0
= f
0
u
(u) ·u
0
t
(t) ·t
0
x
(x). Функция
t(x) также может быть сложной функцией от x: t[v(x)], и тогда
f
0
x
(x) = f
0
u
(u) · u
0
t
(t) · t
0
v
(v) ·v
0
x
(x), и т.д.
Напомним также правила дифференцирования суммы, про-
изведения и частного. Если функции u(x) и v(x) дифференци-
руемы, то дифференцируемы и функции u(x)+v(x), u(x)·v(x),
u(x)
v(x)
(в последнем случае v(x) 6= 0) и справедливы формулы:
[u(x) + v(x)]
0
= u
0
(x) + v
0
(x); (б)
[u(x) · v(x)]
0
= u
0
(x) · v(x) + u(x) ·v
0
(x)]; (в)
·
u(x)
v(x)
¸
0
=
u
0
(x) · v(x) −u(x) ·v
0
(x)
[v(x)]
2
. (г)
Произведение и частное определены только для скалярных
функций. Поэтому формулы (в) и (г) имеют смысл только для
такого вида функций.

Страницы