ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Техника дифференцирования функций 105
Если u(x) = x, то формулы упрощаются, так как в этом
случае u
0
(x) = (x)
0
= 1, и приобретают вид:
1) (x
α
)
0
= αx
α−1
; 2) (a
x
)
0
= a
x
ln a, (e
x
)
0
= e
x
;
3) (sin x)
0
= cos x; 4) (log
a
|x|)
0
=
log
a
e
x
, (ln |x|)
0
=
1
x
;
5) (cos x)
0
= −sin x; 6) (tg x)
0
=
1
cos
2
x
;
7) (ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
; 8) (sh x)
0
= ch x;
9) (ch x)
0
= sh x; 10) (th x)
0
=
1
ch
2
x
;
11) (cth x)
0
= −
1
sh
2
x
; 12) (arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
;
13) (arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
; 14) (arctg x)
0
=
1
1 + x
2
;
15) (arcctg x)
0
= −
1
1 + x
2
.
12.1. Найдите y
0
(x), если:
а) y(x) = 2x
3/4
− 4x
7/5
+ 3 x
−2
;
б) y(x) =
a
4
√
x
5
−
b
x
3
√
x
(a и b — постоянные).
Решение: а) применяя правило дифференцирования суммы,
степенной функции, а также формулу (д), получаем
y
0
= 2 ·
3
4
x
(3/4)−1
− 4 ·
7
5
x
(7/5)−1
+ 3(−2) · x
−2−1
=
=
3
2
· x
−1/4
−
28
5
x
2/5
− 6x
−3
=
3
2
4
√
x
−
28
5
5
√
x
2
−
6
x
3
;
б) в подобных случаях удобнее освободиться от радикалов
и записать y = ax
−5/4
−bx
−4/3
, а затем находить производную:
y
0
= −
5
4
ax
(−5/4)−1
+
4
3
bx
(−4/3)−1
= −
5
4
ax
−9/4
+
4
3
bx
−7/3
=
= −
5a
4x
2
4
√
x
+
4b
3x
2
3
√
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
