ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12. Техника дифференцирования функций 107
Решение. а) y
0
= (3 − x
5
/
3
+ 64x
−
1
)
0
= −
5
3
x
2/3
− 64x
−2
=
= −
5
3
3
√
x
2
−
64
x
2
, y
0
(−2
√
2) = −
5
3
3
√
8 −
64
8
= −
10
3
− 8 = −
34
3
;
б) y
0
=
cos t(1 − cos t) − sin t sin t
(1 − cos t)
2
=
cos t − cos
2
t − sin
2
t
(1 − cos t)
2
=
=
cos t − 1
(1 − cos t)
2
=
−1
1 − cos t
, y
0
µ
π
3
¶
=
−1
1 − 1/2
= −2.
12.4. Пользуясь правилами дифференцирования сложной
функции, найдите производную следующих функций:
а) y = cos
5
x; б) y = ln sin x; в) y = 5
tg x
;
г) y = ln cos(x
4
+ 2); д) y = arccos
√
1 − x
2
;
е) y = (arctg 2x)
3
; ж) y = sin
3
1
√
x
.
Решение: а) обозначим u(x) = cos x. Тогда y = u
5
. По пер-
вой формуле в таблице производных находим
y
0
= 5u
4
· u
0
x
= 5 cos
4
x(cos x)
0
= 5 cos
4
x(−sin x);
б) обозначим u(x) = sin x, тогда y = ln u. По третьей фор-
муле в таблице производных находим
y
0
=
1
u
· u
0
=
1
sin x
· (sin x)
0
=
cos x
sin x
= tg x.
Приобретя некоторый опыт, эти замены нужно делать мыс-
ленно, не записывая их;
в) (5
tg x
)
0
= 5
tg x
·
ln 5
cos
2
x
(здесь u(x) = tg x, u
0
(x) =
1
cos
2
x
);
г)
£
ln cos(x
4
+ 2)
¤
0
=
−sin(x
4
+ 2)
cos(x
4
+ 2)
4x
3
;
д) (arccos
√
1 − x
2
)
0
= −
1
q
1 − (
√
1 − x
2
)
2
−2x
2
√
1 − x
2
=
=
1
√
x
2
·
x
√
1 − x
2
=
x
|x|
√
1 − x
2
= ±
1
√
1 − x
2
;
е)
£
(arctg 2x)
3
¤
0
= 3(arctg 2x)
2
1
1 + (2x)
2
· 2;
ж)
·
sin
3
1
√
x
¸
0
= 3 sin
2
1
√
x
· cos
1
√
x
·
µ
−
1
2
√
x
3
¶
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
