Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12. Техника дифференцирования функций 109
Продифференцировать степенно-показательную функцию
y = u(x)
v(x)
, u(x) > 0, можно либо прологарифмировав её, ли-
бо используя логарифмическое тождество y = e
v(x) ln u(x)
. В ре-
зультате получим y
0
= u(x)
v(x)
[v(x) ln u(x)]
0
=
= u(x)
v(x)
·
v
0
(x) ln u(x) +
v(x) · u
0
(x)
u(x)
¸
.
12.7. Найдите производную от функции y = (sin
2
x)
cos 3x
.
Решение. Используя логарифмическое тождество, можем
записать y = e
cos 3x·ln sin
2
x
. Находим y
0
= e
cos 3x·ln sin
2
x
×
×
µ
−3 sin 3x · ln sin
2
x + cos 3x ·
2 sin x cos x
sin
2
x
=
= (sin
2
x)
cos 3x
(−3 sin 3x ln sin
2
x + 2 cos 3x · ctg x).
12.8. Найдите производные следующих векторных функ-
ций одного скалярного аргумента:
а)f(x) =
sin
3
x
2
x
3
1 + x
1 − x
; б)f(x) =
x
2
2
x
tg
4
x
3
.
Решение: а) чтобы найти производную от f(x), нужно найти
производные от координатных функций. Поэтому
f
0
(x) =
(sin
3
x
2
)
0
(x
3
)
0
µ
1 + x
1 − x
0
=
3 sin
2
x
2
cos x
2
· 2x
3x
2
(1 − x) − (1 + x)(−1)
(1 − x)
2
=
=
3 sin
2
x
2
cos x
2
· 2x
3x
2
2
(1 − x)
2
;
б)f
0
(x) =
(x
2
)
0
(2
x
)
0
(tg
4
x
3
)
0
=
2x
2
x
ln 2
4 tg
3
x
3
·
3x
2
cos
2
x
3
.

Страницы