Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

108 Дифференциальное исчисление
Вы заметили, что функция u(x) сама может быть сложной
функцией. От неё находить производную нужно по тем же таб-
личным формулам.
12.5. Найдите производные следующих функций:
а) y = (2 + 5x
2
+ 4x
3
)
10
; б) y =
4
√
sin
3
2x +
1
cos
4
3x
;
в) y =
√
e
3x
+ 2
4x
+ 3 + ln
3
2x; г)y = arctg ln x + ln arctg x.
Решение:
а) y
0
=
£
(2 + 5x
2
+ 4x
3
)
10
¤
0
= 10(2 + 5x
2
+ 4x
3
)
9
(10x + 12x
2
);
б) y
0
= (sin
3/4
2x + cos
−4
3x)
0
=
3
4
sin
−1/4
2x · cos 2x ·2−
−4 cos
−5
3x(−sin 3x) ·3 =
3 cos 2x
2
4
√
sin 2x
+
12 sin 3x
cos
5
3x
;
в) y
0
=
1
2
(e
3x
+2
4x
+3)
−1/2
(e
3x
·3+2
4x
·ln 2·4)+3 ln
2
2x·
1
2x
·2;
г)
y
0
=
1
1 + (ln x)
2
·
1
x
+
1
arctg x
·
1
1 + x
2
.
Если требуется продифференцировать произведение и част-
ное с большим числом сомножителей, то иногда выгодно функ-
цию предварительно прологарифмировать.
12.6. Найдите производную функции
y =
3
√
1 + sin x ·(1 + x
2
)
3
p
1 + tg
2
x ·
5
√
4 − x
.
Решение. ln |y| =
1
3
ln |1 + sin x| + ln(1 + x
2
)−
−
1
3
ln(1 + tg
2
x) −
1
5
ln |4 − x|.
Выполним дифференцирование:
y
0
y
=
cos x
3(1 + sin x)
+
2x
1 + x
2
−
2 tg x
3(1 + tg
2
x)
·
1
cos
2
x
−
1
5
·
−1
4 − x
.
Следовательно, y
0
=
3
√
1 + sin x ·(1 + x
2
)
3
p
1 + tg
2
x
5
√
4 − x
·
cos x
3(1 + sin x)
+
+
2x
1 + x
2
−
2 tg x
3(1 + tg
2
x) cos
2
x
+
1
5(4 − x)
¸
.

Страницы