Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

106 Дифференциальное исчисление
12.2. Найдите y
0
(x), если:
а) y(x) = x
3
arcsin x; б) y = (x
2
+ 1) arctg x;
в) y =
sin x − cos x
sin x + cos x
; г) y =
x +
√
x
x − 2
3
√
x
.
Решение: а) применяем правило дифференцирования про-
изведения (формулу (в)). Получаем
y
0
= (x
3
)
0
arcsin x + x
3
(arcsin x)
0
= 3x
2
arcsin x +
x
3
√
1 − x
2
.
Такие подробные записи делать впредь не рекомендуем, следу-
ет сразу применять соответствующие формулы;
б) y
0
= 2x arctg x +
x
2
+ 1
x
2
+ 1
= 2x arctg x + 1;
в) применяем формулу (г) — правило дифференцирования
частного: y
0
=
=
(sin x − cos x)
0
(sin x + cos x) − (sin x + cos x)
0
(sin x − cos x)
(sin x + cos x)
2
=
=
(cos x + sin x)(sin x + cos x) − (cos x − sin x)(sin x − cos x)
(sin x + cos x)
2
=
=
sin
2
x + cos
2
x + 2 sin x cos x + sin
2
x − 2 sin x cos x + cos
2
x
(sin x + cos x)
2
=
=
2
(sin x + cos x)
2
;
г) y =
x + x
1/2
x − 2x
1/3
,
y
0
=
µ
1 +
1
2
x
−1/2
(x − 2x
1/3
) − (x + x
1/2
)
µ
1 −
2
3
x
−2/3
(x − 2x
1/3
)
2
.
Последнее выражение можно несколько упростить, но мы этого
делать не будем.
12.3. Найдите производные и вычислите их значение в ука-
занной точке:
а) y = 3 −
3
√
x
5
+
64
x
, x
0
= −2
√
2; б) y =
sin t
1 − cos t
, t =
π
3
.

Страницы