Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

10. Предел и непрерывность функции 97
10.9. Исходя из определения предела, докажите:
а) lim
x→2
y→3
xy = 6; б) lim
x→−∞
y→+∞
p
x
2
+ y
2
= +∞;
в) lim
x→∞
y→1
3x
2
y − 3y
2
x
2
+ y
2
= 3; г) lim
x→−∞
y→+∞
ln
p
x
2
+ y
2
= +∞;
д) lim
x→∞
y→∞
5x
2
+ 3x + 5y
2
+ 2y − 9
x
2
+ y
2
= 5.
10.10. Докажите, что функция f(x, y) =
x
2
y
x
4
+ y
2
обладает
следующими свойствами:
а) при стремлении точки M(x; y) к точке O(0; 0) по любой
прямой y = kx предел функции равен нулю;
б) предел функции в точке O(0; 0) не существует;
в) оба повторные пределы существуют и равны нулю.
10.11. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
y→2
(1 + 2xy)
2
x
2
+xy
; б) lim
x→0
y→0
sin x + sin y
x + y
;
в) lim
x→∞
y→∞
x + 2y
x
2
− 2xy + 2y
2
; г) lim
x→1
y→0
tg 2xy
x
2
y
;
д) lim
x→∞
y→∞
x
2
+ y
2
x
4
+ y
4
.
10.12. Найдите повторные пределы в указанной точке
(x
0
; y
0
) для следующих функций:
а) f(x, y) =
sin(x + y)
2x + 3y
, x
0
= 0, y
0
= 0;
б) f(x, y) =
cos x − cos y
x
2
+ y
2
, x
0
= 0, y
0
= 0;
в) f(x, y) =
sin 3x − tg 2y
6x + 3y
, x
0
= 0, y
0
= 0;
г) f(x, y) =
x
2
+ y
2
x
2
+ y
4
, x
0
= ∞, y
0
= ∞;
д) f(x, y) =
x
y
1 + x
y
, x
0
= +∞, y
0
= +0.

Страницы