Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

96 Введение в математический анализ
Решение. Находим lim
x→0
y→3
(1 + xy
2
)
y
x
2
y+xy
2
=
= lim
x→0
y→3
·
¡
1 + xy
2
¢
1
xy
2
¸
xy
3
x
2
y+xy
2
= lim
x→0
y→3
e
y
2
x+y
= e
3
,
так как lim
x→0
y→3
y
2
x + y
= 3 по теореме о пределе частного.
Находим повторные пределы:
lim
x→0
½
lim
y→3
¡
1 + xy
2
¢
y
x
2
y+xy
2
¾
= lim
x→0
(1 + 9x)
1
x
2
+3x
= e
3
;
lim
y→3
½
lim
x→0
¡
1 + xy
2
¢
y
x
2
y+xy
2
¾
= lim
y→3
(
e
lim
x→0
xy
3
x
2
y+xy
2
)
= e
3
.
10.6. Найдите lim
x→∞
y→∞
x + 2y
x
2
+ y
2
.
Решение. Перейдём к полярной системе координат по фор-
мулам x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Когда x → ∞ и y → ∞, то и
r → ∞. Получаем lim
x→∞
y→∞
x + 2y
x
2
+ y
2
= lim
r→∞
r(cos ϕ + 2 sin ϕ)
r
2
= 0,
так как lim
r→∞
1
r
= 0 и |cos ϕ + 2 sin ϕ| < 3.
Задачи для самостоятельного решения
10.7. Дана функция f(x, y) = x sin
1
x
· sin
1
y
. Докажите, что
lim
x→0
y→0
f(x, y) = 0. При этом внутренний предел
ψ(y) = lim
x→0
f(x, y) = 0, а внутренний предел ϕ(x) = lim
y→0
f(x, y)
не существует.
10.8. Докажите, что следующие пределы не существуют:
а) lim
x→0
y→0
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
; б) lim
x→1
y→0
ln(x + y)
y
; в) lim
x→0
y→0
sin(x − y)
p
x
2
+ y
2
Проверьте, существуют или нет повторные пределы для этих
функций в соответствующих точках.

Страницы