Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

94 Введение в математический анализ
Зафиксируем величину y, y 6= 0, и рассмотрим lim
x→0
(x + y) ×
×sin
1
x
sin
1
y
. Запишем функцию f(x, y) в виде суммы f(x, y) =
= x sin
1
x
sin
1
y
+y sin
1
x
sin
1
y
. При x → 0 первое слагаемое стре-
мится к нулю как произведение бесконечно малой на огра-
ниченную функцию. Во втором слагаемом множитель y sin
1
y
постоянен, а при x → 0 функция ϕ(x) = sin
1
x
предела не
имеет, что легко доказать, используя определение предела на
языке последовательностей, выбрав две последовательности
x
0
n
=
½
1
2πn
¾
и x
00
n
=
½
1
(π/2) + 2πn
¾
. При этом ϕ(x
0
n
) → 1,
ϕ(x
00
n
) → 0. Таким образом, второе слагаемое предела не имеет,
а поэтому не существует внутренний предел lim
x→0
f(x, y), следо-
вательно, не существует и повторный предел lim
y→0
½
lim
x→0
f(x, y)
¾
.
Поскольку f(x, y) = f(y, x), то отсюда следует, что не суще-
ствует внутренний предел lim
y→0
f(x, y), а поэтому и повторный
lim
x→0
½
lim
y→0
f(x, y)
¾
.
Из рассмотренных примеров следует, что двойной предел и
повторные пределы — понятия совершенно разные. Возможна
ситуация, когда оба повторных предела существуют и равны,
но двойной предел при этом все же не существует.
10.3. Пусть f(x, y) =
xy
x
2
+ y
2
. Докажите, что lim
x→0
y→0
f(x, y) не
существует, но существуют равные повторные пределы.
Решение. Как и при решении задачи 10.1, выберем после-
довательность точек M
n
(x
n
, kx
n
), сходящуюся к точке M
0
(0; 0)
при n → ∞. Тогда lim
n→∞
f(x
n
, kx
n
) =
k
2
1 + k
2
. Предел зависит от
выбора значения k. По определению предела на языке после-

Страницы