Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

10. Предел и непрерывность функции 93
10.1. Дана функция f(x, y) =
2x + 3y
5x + 6y
. Докажите, что двой-
ной предел lim
x→0
y→0
f(x, y) не существует, но существуют оба по-
вторных предела. Найдите их.
Решение. Выберем последовательность точек M
n
(x
n
, y
n
),
сходящуюся к M
0
(0; 0) при n → ∞. Положим y
n
= kx
n
. Тогда
lim
n→∞
f(x
n
, y
n
) = lim
n→∞
2x
n
+ 3kx
n
5x
n
+ 6kx
n
=
2 + 3k
5 + 6k
. При k = 0 получа-
ем lim
n→∞
f(x
n
, y
n
) =
2
5
, а при k = 1 —
lim
n→∞
f(x
n
, y
n
) =
2 + 3
5 + 6
=
5
11
6=
2
5
.
По определению предела на языке последовательностей двой-
ной предел lim
x→0
y→0
f(x, y) не существует. Находим повторные пре-
делы:
lim
x→0
½
lim
y→0
2x + 3y
5x + 6y
¾
= lim
x→0
2x
5x
=
2
5
;
lim
y→0
½
lim
x→0
2x + 3y
5x + 6y
¾
= lim
y→0
3y
6y
=
1
2
.
Как видим, оба повторных предела существуют, конечны, но
двойной предел не существует.
Возможны случаи, когда двойной предел существует, а
внутренние, а потому и повторные — не существуют.
10.2. Пусть f(x, y) = (x + y) sin
1
x
sin
1
y
. Докажите, что
lim
x→0
y→0
f(x, y) существует и равен нулю, но повторные пределы не
существуют.
Решение. Очевидна оценка
|f(x, y)| = |x + y|
¯
¯
¯
¯
sin
1
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
sin
1
y
¯
¯
¯
¯
< |x + y| < |x| + |y|.
Пусть ε > 0 произвольно. В прямоугольной окрестности точ-
ки (0; 0) вида |x| < δ, |y| < δ, если δ < (ε/2), справедливо
|f(x, y)| < ε, т. е. для любой точки этой окрестности выполня-
ется |f(x, y) − 0| < ε. Это и означает, что lim
x→0
y→0
f(x, y) = 0.

Страницы