ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10. Предел и непрерывность функции 95
довательностей двойной предел lim
x→0
y→0
f(x, y) не существует. Но
lim
x→0
½
lim
y→0
xy
x
2
+ y
2
¾
= lim
y→0
½
lim
x→0
xy
x
2
+ y
2
¾
= 0.
Из сформулированной в начале раздела теоремы следу-
ет, что возможны случаи, когда существует двойной предел и
лишь один из повторных, а другой повторный не существует.
10.4. Найдите двойной предел и повторные пределы для
функции f(x, y) =
sin xy
x
в точке M
0
(0; a).
Решение. lim
x→0
y→a
sin xy
x
= lim
x→0
y→a
sin xy
x · y
y. Рассмотрим предел
lim
x→0
y→a
sin xy
xy
. Пусть xy = z. При x → 0 для любого конечного зна-
чения y величина z → 0. Поэтому lim
x→0
y→a
sin xy
xy
= lim
z→0
sin z
z
= 1.
Очевидно, lim
x
→
0
y→a
y = a. По теореме о пределе произведения
lim
x→0
y→a
sin xy
x
= a. Находим повторные пределы:
lim
x→0
½
lim
y→a
sin xy
x
¾
= lim
x→0
sin ax
x
= a
(использована непрерывность функции sin x),
lim
y→a
½
lim
x→0
sin xy
x
¾
= lim
y→a
½
lim
x→0
sin xy
xy
· y
¾
= lim
y→a
y = a.
В данном случае оба повторные пределы существуют, рав-
ны между собой и равны двойному пределу, поскольку суще-
ствуют оба внутренние пределы.
10.5. Найдите двойной предел и повторные пределы для
функции f(x, y) =
¡
1 + xy
2
¢
y
x
2
y+xy
2
в точке M
0
(0; 3).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
