Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

92 Введение в математический анализ
10. Предел и непрерывность функции многих
переменных
Ограничимся функциями z = f(x, y) двух аргументов.
Пусть f : D ⊂ R
2
→ ∆ ⊂ R и (x
0
, y
0
) — предельная точка
множества D. Ранее определённый предел (см. раздел 3)
lim
(x;y)→(x
0
;y
0
)
f(x, y) (а)
назовем двойным. Фиксируя либо y, либо x, можно рассмот-
реть пределы
lim
x→x
0
f(x, y), lim
y→y
0
f(x, y). (б)
Если пределы (б) существуют и конечны, то первый из них
является некоторой функцией ψ(y), а второй — функцией
ϕ(x). Пределы (б) называют внутренними пределами функции
f(x, y). Пределы вида
lim
y→y
0
½
lim
x→x
0
f(x, y)
¾
, lim
x→x
0
½
lim
y→y
0
f(x, y)
¾
(в)
называют повторными. Связь между двойными (а), внутрен-
ними (б) и повторными (в) пределами устанавливается в сле-
дующей теореме.
Теорема. Пусть существует двойной предел
lim
x→x
0
,y→y
0
f(x, y) = A. Если для всякого фиксированного
y (y 6= y
0
) существует внутренний предел ψ(y) = lim
x
→
x
0
f(x, y),
то существует повторный предел lim
y→y
0
½
lim
x→x
0
f(x, y)
¾
, также
равный A. Если для всякого фиксированного x (x 6= x
0
) суще-
ствует внутренний предел ϕ(x) = lim
y→y
0
f(x, y), то существует
повторный предел lim
x→x
0
½
lim
y→y
0
f(x, y)
¾
, также равный A.
Обратная теорема неверна, в чем мы убедимся на примерах.

Страницы