Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13. Производные высших порядков 113
Используя таблицу производных и метод математической
индукции, легко доказать справедливость следующих формул:
(a
x
)
(n)
= a
x
(ln a)
n
; (а)
µ
1
ax + b
(n)
=
(−1)
n
n!a
n
(ax + b)
n+1
; (б)
(sin x)
(n)
= sin
µ
x + n ·
π
2
; (в)
(cos x)
(n)
= cos
µ
x + n ·
π
2
. (г)
13.1. Найдите производные второго порядка от следующих
функций:
а) y = (1 + x
2
) arctg x; б) y =
√
1 − x
2
arcsin x;
в) y = ln(x +
√
9 + x
2
); г) y = e
√
x
.
Решение: а) y
0
(x) = 2x arctg x +
1 + x
2
1 + x
2
= 2x arctg x + 1,
y
00
(x) = 2 arctg x +
2x
1 + x
2
;
б) y
0
(x) =
−2x
2
√
1 − x
2
arcsin x +
p
1 − x
2
1
√
1 − x
2
=
=
−x arcsin x
√
1 − x
2
+ 1, y
00
(x) = (−
1
√
1 − x
2
−
x
2
p
(1 − x
2
)
3
) arcsin x−
−
x
1 − x
2
= −
arcsin x
p
(1 − x
2
)
3
−
x
1 − x
2
;
в) y
0
= [ln(x +
√
9 + x
2
)]
0
=
1 +
x
√
9 + x
2
x +
√
9 + x
2
=
=
x +
√
9 + x
2
(x +
√
9 + x
2
)
√
9 + x
2
=
1
√
9 + x
2
, y
00
(x) = [(9 + x
2
)
−1/2
]
0
=
= −
1
2
(9 + x
2
)
−3/2
· 2x = −
x
(
√
9 + x
2
)
3
;
г) y
0
= (e
√
x
)
0
=
1
2
√
x
e
√
x
,
y
00
= −
1
4
√
x
3
e
√
x
+
1
4x
e
√
x
=
e
√
x
4x
µ
1 −
1
√
x
=
e
√
x
4x
√
x
(
√
x − 1).

Страницы