Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

114 Дифференциальное исчисление
13.2. Найдите производные n-го порядка от следующих
функций: а) y = 2
3x
; б) y = sin 3x · sin 5x; в) y =
3x + 2
4x + 5
.
Решение: а) y
0
= 2
3x
ln 2 · 3 , y
00
= 2
3x
(ln 2)
2
· 3
2
, . . . , y
(n)
=
= 2
3x
(ln 2)
n
· 3
n
(применили формулу (а));
б) y = sin 3x · sin 5x =
1
2
(cos 2x − cos 8x), поэтому y
(n)
=
=
1
2
·
2
n
cos
µ
2x + n
π
2
− 8
n
cos
µ
8x + n
π
2
¶¸
(см. формулу(г));
в) чтобы применить формулу (б), преобразуем выражение
для функции y(x) =
3x + 2
4x + 5
=
3
4
−
7
4(4x + 5)
(выполнили деле-
ние по правилу деления многочленов). Применяя формулу (б),
получаем y
(n)
= −
7(−1)
n
n!4
n
4(4x + 5)
n+1
=
7(−1)
n+1
4
n−1
(4x + 5)
n+1
.
В некоторых случаях значительно сократить вычисления
при отыскании производной от произведения позволяет фор-
мула Лейбница
(u · v)
(n)
= u
(n)
v + nu
(n−1)
v
0
+
n(n − 1)
1 · 2
u
(n−2)
v
00
+ ···+
+
n(n − 1) ···(n − m + 1)
m!
u
(n−m)
v
(m)
+ ··· + uv
(n)
.
13.3. Применяя формулу Лейбница, найдите производные
указанного порядка для следующих функций:
а) y = x
2
cos 4x, y
(20)
;
б) y = e
2x
(x
3
− 1), y
(12)
;
Решение: а) положим u = cos 4x, v = x
2
. Тогда (u·v)
(20)
=
= (cos 4x)
(20)
· x
2
+ 20(cos 4x)
(19)
· 2x +
20 · 19
2
(cos 4x)
(18)
· 2 =
= 4
20
cos
µ
4x + 20 ·
π
2
· x
2
+ 20 · 4
19
cos
µ
4x + 19 ·
π
2
· 2x+
+190 ·4
18
cos
µ
4x + 18 ·
π
2
·2 = 4
20
·x
2
cos 4x + 40 ·4
19
x sin 4x−
−4
18
· 380 cos 4x;

Страницы