Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116 Дифференциальное исчисление
13.7. Найдите y
000
, если:
а) y =
x
3
/6
x
4
/24
x
5
/60
; б) y =
sin 2x
cos 2x
x
3
;
в) y = (t
3
+ 1)i + (t
2
+ 2)j + sin tk;
г) y = e
2t+3
i + t ln tj + cos
2
tk.
14. Дифференцирование функций многих
аргументов
Мы уже отмечали, что элементами производной матрицы в
случае функций векторного аргумента (функций многих ска-
лярных аргументов) являются частные производные — про-
изводные по одному из аргументов при фиксированных всех
остальных. Чтобы найти частную производную
∂z
∂x
от функции
z(x, y), нужно взять производную по x, считая аргумент y кон-
стантой. Напомним, что производная константы равна нулю и
что константу-сомножитель можно выносить за знак производ-
ной. Аналогично находят
∂z
∂y
, считая аргумент x константой.
14.1. Найдите частные производные
∂z
∂x
и
∂z
∂y
от следующих
функций:
а) z =
p
x
2
+ y
2
+ 2xy; б) z = arctg
x
y
+ x
2
;
в) z = e
2x
cos y − e
3y
sin x.
Решение:
а) считая y константой, находим
∂z
∂x
=
1
2
p
x
2
+ y
2
· 2x + 2y =
x
p
x
2
+ y
2
+ 2y.
Полагая x = const, получаем
∂z
∂y
=
y
p
x
2
+ y
2
+ 2x;
б)
∂z
∂x
=
1
1 + (x/y)
2
·
1
y
+ 2x =
y
x
2
+ y
2
+ 2x,

Страницы