Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14. Дифференцирование функций 117
∂z
∂y
=
1
1 + (x/y)
2
·
µ
−
x
y
2
=
−x
x
2
+ y
2
;
в)
∂z
∂x
= 2e
2x
cos y −e
3y
cos x,
∂z
∂y
= −e
2x
sin y −3e
3y
sin x.
14.2. Докажите, что функция z = ln(x
2
+y
2
) удовлетворяет
уравнению y
∂z
∂x
− x
∂z
∂y
= 0.
Решение:
∂z
∂x
=
2x
x
2
+ y
2
,
∂z
∂y
=
2y
x
2
+ y
2
, следовательно,
y
∂z
∂x
−x
∂z
∂y
=
2xy
x
2
+ y
2
−
2yx
x
2
+ y
2
= 0, что и требовалось доказать.
14.3. Найдите производную матрицу следующих функций:
а) u =
x
y
+
y
z
; б) u =
·
x sin y
y sin x
¸
.
Решение: а) функция u(x, y) отображает некоторое мно-
жество из R
3
в R. Для таких функций производная матрица u
0
имеет вид u
0
=
·
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
¸
, т. е. u
0
=
·
1
y
,
−x
y
2
+
1
z
,
−y
z
2
¸
;
б) в этом случае функция u(x, y) отображает некоторое мно-
жество из R
2
в R
2
. Как нам известно из теории [6, с. 112], про-
изводная матрица для этих функций имеет вид
u
0
=
∂f
1
∂x
∂f
1
∂y
∂f
2
∂x
∂f
2
∂y
, где f
1
(x, y) и f
2
(x, y) — координатные
функции. Поэтому u
0
=
·
sin y x cos y
y cos x sin x
¸
.
14.4. Найдите частные производные от функции
z = (sin
2
x)
cos
2
y
.
Решение. Используя правило дифференцирования степен-
ной функции, если y — константа, и показательной, если x —
константа, получаем
∂z
∂x
= cos
2
y(sin
2
x)
cos
2
y−1
· 2 sin x cos x,
∂z
∂y
= (sin
2
x)
cos
2
y
ln sin
2
x · 2 cos y(−sin y).

Страницы