Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14. Дифференцирование функций 119
частных производных второго порядка: z
00
xx
, z
00
xy
, z
00
yx
, z
00
yy
.
От этих производных можно также взять частные производные
и получить восемь производных третьего порядка: z
000
xxx
, z
000
xxy
,
z
000
yxx
, z
000
yxy
, z
000
xyx
, z
000
xyy
, z
000
yyx
, z
000
yyy
. Частные производные
высших порядков, в которые входит дифференцирование по
различным аргументам, называются смешанными. Справедли-
ва теорема: если смешанные частные производные существуют
в точке и некоторой её окрестности и непрерывны в ней, то эти
смешанные производные не зависят от порядка дифференциро-
вания, а зависят только от общего числа дифференцирований
по каждому аргументу. Поэтому если условия теоремы выпол-
нены, то z
00
xy
= z
00
yx
, z
000
xxy
= z
000
xyx
= z
000
yxx
, z
000
yyx
= z
000
yxy
= z
000
xyy
.
В этом случае для смешанных производных третьего поряд-
ка вводят обозначения
∂
3
z
∂x
2
∂y
или
∂
3
z
∂y∂x
2
,
∂
3
z
∂y
2
∂x
или
∂
3
z
∂x∂y
2
.
Аналогично можно рассмотреть частные производные четвер-
того порядка, например
∂
4
z
∂
2
x∂
2
y
,
∂
4
z
∂x
4
,
∂
4
z
∂
3
x∂y
и т. д. Таким
же образом можно получить частные производные высших по-
рядков функций любого числа аргументов.
14.6. Найдите частные производные второго порядка от
следующих функций:
а) z = e
xy
; б) z = x sin y.
Решение:
а)
∂z
∂x
= ye
xy
,
∂z
∂y
= xe
xy
,
∂
2
z
∂x
2
= y
2
e
xy
,
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
2
z
∂y∂x
= e
xy
+ yxe
xy
= e
xy
(1 + xy),
∂
2
z
∂y
2
= x
2
e
xy
;
б)
∂z
∂x
= sin y,
∂z
∂y
= x cos y,
∂
2
z
∂x
2
= 0,
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
2
z
∂y∂x
= cos y,
∂
2
z
∂y
2
= −x sin y.

Страницы