Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14. Дифференцирование функций 121
Видим, что
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0, что и требовалось доказать.
Мы до сих пор рассматривали функции z(x, y) независимых
переменных, но возможны случаи, когда z зависит от x и y
через некоторые промежуточные переменные:
z(x, y) = f [u(x, y), v(x, y)]. Рассмотрим сначала более простой
случай функции одного аргумента вида z(x) = f [u(x), v(x)].
Правило дифференцирования таких функций [6, c. 115]:
dz
dx
=
∂f
∂u
·
du
dx
+
∂f
∂v
·
dv
dx
. (а)
Возможна зависимость z = f [x, u(x), v(x)], тогда
dz
dx
=
∂f
∂x
+
∂f
∂u
·
du
dx
+
∂f
∂v
·
dv
dx
. (б)
Здесь частная производная
∂f
∂x
вычисляется при фик-
сированных значениях аргументов u и v. Производную
dz
dx
называют полной. Она вычисляется в предположении, что u
и v являются функциями от x.
14.9. Найдите
dz
dx
и
d
2
z
dx
2
, если z = f(u, v), u = x
2
, v = x
3
.
Решение. Так как
du
dx
= 2x,
dv
dx
= 3x
2
, то по формуле (а)
получаем
dz
dx
=
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
.
Для отыскания второй производной
d
2
z
dx
2
=
d
dx
µ
dz
dx
надо
найти производную по x от функции
ϕ =
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
= ϕ [x, u(x), v(x)],
которая зависит от x, u(x) и v(x). В этом случае нужно
применять формулу (б), взяв вместо функции f функцию
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
= ϕ [x, u(x), v(x)].

Страницы