ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14. Дифференцирование функций 123
В случае если z = f [x, y, u(x, y), v(x, y)], т. е. z зависит от x и
y непосредственно и через функции u(x, y) и v(x, y), то
∂z
∂x
=
µ
∂f
∂x
¶
+
∂f
∂u
∂u
∂x
+
∂f
∂v
∂v
∂x
,
∂z
∂y
=
µ
∂f
∂y
¶
+
∂f
∂u
∂u
∂y
+
∂f
∂v
∂v
∂y
.
(г)
Частные производные
∂f
∂x
и
∂f
∂y
вычисляются в предположении,
что аргументы u и v постоянны.
14.11. Найдите
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂x∂y
,
∂
2
z
∂y
2
, если
z = f [u(x, y), v(x, y)], u(x, y) = x
2
+ y
2
, v(x, y) = x
3
− y
3
.
Решение. По формулам (в), учитывая, что
∂u
∂x
= 2x,
∂u
∂y
= 2y,
∂v
∂x
= 3x
2
,
∂v
∂y
= −3y
2
, получаем
∂z
∂x
=
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
,
∂z
∂y
=
∂f
∂u
· 2y −
∂f
∂v
· 3y
2
.
Так как
∂
2
z
∂x
2
=
∂
∂x
µ
∂z
∂x
¶
,
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
∂x
µ
∂z
∂y
¶
,
∂
2
z
∂y
2
=
∂
∂y
µ
∂z
∂y
¶
и учитывая, что частные производные первого порядка зависят
от x и y непосредственно и через функции u(x, y) и v(x, y), то
для отыскания вторых частных производных используем фор-
мулы (г).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- …
- следующая ›
- последняя »
