Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122 Дифференциальное исчисление
Находим:
d
2
z
dx
2
=
∂
∂x
µ
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
+
+
∂
∂u
µ
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
· 2x+
+
∂
∂v
µ
∂f
∂u
· 2x +
∂f
∂v
· 3x
2
· 3x
2
=
=
∂f
∂u
· 2 +
∂f
∂v
· 6x +
Ã
∂
2
f
∂u
2
· 2x +
∂
2
f
∂u∂v
· 3x
2
!
2x+
+
Ã
∂
2
f
∂v∂u
· 2x +
∂
2
f
∂v
2
· 3x
2
!
3x
2
=
= 2
∂f
∂u
+ 6x
∂f
∂v
+ 4x
2
∂
2
f
∂u
2
+ 12x
3
∂
2
f
∂u∂v
+ 9x
4
∂
2
f
∂v
2
(мы посчитали, что
∂
2
f
∂u∂v
=
∂
2
f
∂v∂u
).
14.10. Найдите
dz
dx
, если z = sin(αx)·f(u, v), u = e
2x
, v = 2x.
Решение. Функция z зависит от x как непосредственно,
так и через функции u(x) и v(x). Поэтому применяем форму-
лу (б):
dz
dx
= α cos(αx) ·f(u, v) + sin(αx) ·
∂f
∂u
e
2x
·2 + sin(αx) ·
∂f
∂v
·2.
Если бы требовалось найти
d
2
z
dx
2
, то опять применяли бы
формулу (б), положив функцию f равной правой части в вы-
ражении для
dz
dx
.
Пусть теперь имеем функцию z = f [u(x, y), v(x, y)].
Правило отыскания частных производных
∂z
∂x
и
∂z
∂y
[6, c. 116]:
∂z
∂x
=
∂f
∂u
∂u
∂x
+
∂f
∂v
∂v
∂x
,
∂z
∂y
=
∂f
∂u
∂u
∂y
+
∂f
∂v
∂v
∂y
.
(в)

Страницы